punkty abc

ewas92 · Post autor: **ewas92** » 09 maja 2016, 16:40

Punkt P leży na zewnątrz okręgu o.Punkty A,B,C leżą na okręgu o,przy czym A leży na odcinku PB,a prosta PC jest styczna do okręgu o.Udowodnij że \(PA \cdot PB=PC^2\) Bardzo proszę o pomoc.

radagast · Post autor: **radagast** » 09 maja 2016, 18:18

: ScreenHunter_1330.jpg (7.62 KiB) Przejrzano 1642 razy

\(PC^2=PO^2-CO^2\)
\(PC^2=(PA+r)^2-r^2\)
\(PC^2=PA^2+2PA \cdot r\)
\(PC^2=PA(PA+2 r)\)
\(PC^2=PA \cdot PB\)

cbdo

ewas92 · Post autor: **ewas92** » 11 maja 2016, 17:54

a co jeśli AB nie jest średnicą?

radagast · Post autor: **radagast** » 11 maja 2016, 20:10

: ScreenHunter_1334.jpg (8.94 KiB) Przejrzano 1620 razy

\(\Delta PB_1A\sim \Delta PBA_1\) (cecha kk)
zatem
\(\frac{PA_1}{PB} = \frac{PA}{PB_1}\)
stąd
\(PA_1 \cdot PB_1=PA \cdot PB\)
czyli położenie odcinka \(PB\) (to, czy zawiera środek okręgu, czy nie) nie ma znaczenia

Nota bene: iloczyn \(PA \cdot PB\) nazywa się potęgą punktu \(P\) względem okręgu i to jest znany fakt, że jest stały .