forum.zadania.info

Wierzchołki trapezu należą do paraboli danej równaniem y=9−x2y=9−x2, a jego dłuższa podstawa jest zawarta w osi OX. Oblicz największe możliwe pole tego trapezu.

Pole trapezu jest funkcją argumentu x i \(x\in (0;3)\) trzeba wyznaczyć
maksimum tej funkcji.
\(P(x)=-x^3-3x^2+9x+27\\
P'(x)=-3x^2-6x+9\\P'(x)=0\;\;\;\; \iff \;\;\;\;-3x^2-6x+9=0\\-x^2-2x+3=0\\\Delta=16\\\sqrt{\Delta}=4\\
x_1= \frac{2+4}{-2}=-3 \notin (0;3)\\x_2= \frac{2-4}{-2} =1 \in (0;3)\)
W punkcie x=1 pochodna P'(x) zmienia znak z plus na minus,zatem jest maksimum funkcji P.
\(P(1)=-1-3+9+27=32\)

W początkowej funkcji opisującej pole przy "a" mamy minus
W pochodnej także minus czyli szukając największej wartości nie powinniśmy "wężyka" zaczynać od dołu oczywiście z uwzględnieniem dziedziny (0:3) ???
Bo tutaj zaczynamy od gory i nie mam pojęcia dlaczego ? Uratuje mnie ktoś ?

Od dołu czyli od minusa, co masz konkretnie na myśli ?

Mamy trzy liczby (0,1,3) zaczynamy rysować wykres od 3 z dołu i nad wykresem do 1 . Z 1 pod wykresem do 0 przechodzimy . No i z 0 do minus nieskończoności
Tutaj w zadaniu mamy dokładnie odwrotna sytuacje
Bo zawsze jak zaczynamy rysować wykres i a>0 to zaczynamy od gory
A jak a<0 zaczynamy z dołu
Dlatego moje pytanie dlaczego w zadaniu tak jest? Czy to sprawka pochodnej chociaż ona tez ma a<0 ???

Funkcja ma w x =1 maksimum bo na końcach przedziału ma lokalne minima i tylko to powinno Cię interesować w tym zadaniu,a ja np. rysuję pętelki a nie wężyki:) obojętnie tylko trzeba rozumieć skąd się te znaki biorą.

Funkcja opisująca pole
\(P(x)=-x^3-3x^2+9x+27\)
Jest określona na przedziale <0;3>
Twoim zadaniem jest wyznaczenie maksimum funkcji P(x).
W tym celu Liczysz pochodną
\(P'(x)=-3x^2-6x+9\)
i wyznaczasz jej miejsca zerowe,bo tylko tam będzie spełniony warunek konieczny dla istnienia ekstremum.
P'(x) jest funkcją kwadratową o miejscach zerowych \(x_1=-3\;\;\;oraz\;\;\;x_2=1\)
Pierwszy x jest poza dziedziną funkcji,to obserwujesz zmiany znaku pochodnej w otoczeniu punktu x=1.
Wykresem \(P'(x)=-3x^2-6x+9\) jest parabola z ramionami w dół.
Na lewo od x=1 leży nad OX,a na prawo od x=1 leży pod OX.
Oznacza to,że pochodna P' zmienia znak z "+" na "-".
Stąd wiesz o funkcji P(x),że po lewej stronie x=1 jest rosnąca,a po prawej jest malejąca,
czyli dla x=1 osiąga maksimum.
\(P_{MAX}=P(1)=-1-3+9+27=32\)

Zarówno P(x) jak i P'(x) przy ustalaniu znaku,czyli rysowaniu "wężyka" startuje od prawej strony od dołu.
\(P(x)=(3+x)^2(3-x)\)
Krzywa leci od dołu przez x=3 do góry,potem wraca do x=-3 i znów odbija się do góry.
P' jest funkcją kwadratową i ma ujemny współczynnik przy \(x^2\) więc też leci od dołu.

Nie bardzo wiem z czym masz problem

Jedyny problem w tych optymalizacyjnych zadaniach jest właśnie to analizowanie miejsca zerowego jak się zachowuje a raczej co swiruje

W zadaniach optymalizacyjnych nie ma problemu, bo zwykle szukasz maksimum funkcji