forum.zadania.info

Na czworokącie ABCD opisano okrąg o promieniu 2. Wyznacz długości boków i pole czworokąta, jeśli ∡DAB = 135, ∡CDA = 75, ∡ABD = 30.

Odpowiedź : |AB| =\(\sqrt{6}\)- \(\sqrt{2}\), |BC| = \(2\sqrt{3}\), |CD| = \(\sqrt{6} + \sqrt{2}\), |AD| = 2, P = \(2+ 2 \sqrt{3}\)

\(\angle A+ \angle C= \angle B+ \angle D=180^{0}\)
\(\angle C=45^{0}; \angle ADB=15^{0}; \angle B=105^{0}; \angle CBD=75^{0}\)
z tw.sin dla \(\Delta ABD \So \frac{AB}{sin15^{0}}=2r \to AB=sin15^{0} \cdot 4= \frac{ \sqrt{6}- \sqrt{2} }{4} \cdot 4= \sqrt{6}- \sqrt{2}\)
\(\frac{AD}{sin30^{0}}=2r \So AD=2\)
\(\frac{BC}{sin60^{0}}=2r \So BC=2 \sqrt{3}\)
\(\frac{CD}{sin75^{0}}=2r \So CD=4 \cdot \frac{ \sqrt{2}+ \sqrt{6} }{4}= \sqrt{2}+ \sqrt{6}\)
\(P_{ \Delta ABD}= \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot sin135^{0}= \sqrt{3}-1\)
\(P_{ \Delta BCD}= \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD \cdot sin45^{0}=3+ \sqrt{3}\)
\(P_{ABCD}=2+2 \sqrt{3}\)