proste styczne do okręgów
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
proste styczne do okręgów
Dane są równania dwóch okręgów: \(\ (x-3)^2+y^2=9\) i \(\ (x+5)^2+y^2=25\) . Znajdź równania prostych stycznych do obu tych okręgów.
Środek okręgu lezy w odległości równej promieniowi od prostej. Niech prosta ta ma równanie l: y=ax+b, czyli ax-y+b=0
Te dwa okręgi mają środki w punktach A=(3,0) i (-5,0) i promienie odpowiednio 3 i 5. Licząc odległości środków okręgów od tej prostej i przyrównując je do promieni mamy:
\(d(A, l)= \frac{|3a-0+b|}{ \sqrt{a^2+1} }=3
d(B,l)=\frac{|-5a-0+b|}{ \sqrt{a^2+1} }=5\)
Rozwiązując układ równań z powyższymi zależnościami mamy
\(|3a+b|=3 \sqrt{a^2+1}
|-5a+b|=5 \sqrt{a^2+1}\)
Po podniesieniu do kwadratu obu ston i odjęciu równań stronami dostajemy
\(ab=-1\)
Podstawiając do np. pierwszego równania mamy
\(b^2-3=0 \Leftrightarrow b= \sqrt{3} \vee b= -\sqrt{3}
a= \frac{-1} { \sqrt{3} } =- \frac{ \sqrt{3}}{3} \vee a= \frac{-1} {- \sqrt{3} } = \frac{ \sqrt{3}}{3}\)
Szukane proste mają równania
\(y=- \frac{ \sqrt{3} }{3}x+ \sqrt{3} \vee y=\frac{ \sqrt{3} }{3}x- \sqrt{3}\)
Te dwa okręgi mają środki w punktach A=(3,0) i (-5,0) i promienie odpowiednio 3 i 5. Licząc odległości środków okręgów od tej prostej i przyrównując je do promieni mamy:
\(d(A, l)= \frac{|3a-0+b|}{ \sqrt{a^2+1} }=3
d(B,l)=\frac{|-5a-0+b|}{ \sqrt{a^2+1} }=5\)
Rozwiązując układ równań z powyższymi zależnościami mamy
\(|3a+b|=3 \sqrt{a^2+1}
|-5a+b|=5 \sqrt{a^2+1}\)
Po podniesieniu do kwadratu obu ston i odjęciu równań stronami dostajemy
\(ab=-1\)
Podstawiając do np. pierwszego równania mamy
\(b^2-3=0 \Leftrightarrow b= \sqrt{3} \vee b= -\sqrt{3}
a= \frac{-1} { \sqrt{3} } =- \frac{ \sqrt{3}}{3} \vee a= \frac{-1} {- \sqrt{3} } = \frac{ \sqrt{3}}{3}\)
Szukane proste mają równania
\(y=- \frac{ \sqrt{3} }{3}x+ \sqrt{3} \vee y=\frac{ \sqrt{3} }{3}x- \sqrt{3}\)