forum.zadania.info

Dany jest trójkąt ABC, w którym bok BC jest dwa razy dłuższy od boku AB, a kąt ABC jest dwa razy większy od kąta BAC. Pokaż, że |AC|² = 6|AB|²

Proszę o obliczenia

rysunek ilustrujący sytuację: Z twierdzenia cosinusów: \(|AC|^2=x^2+4x^2-2 \cdot x\cdot2x \cdot \cos2\alpha=5x^2-4x^2(2\cos^2\alpha-1)\)
Stąd \(|AC|^2=9x^2-8x^2\cos^2\alpha\).
Przydałby się \(\cos^2\alpha\). Na szczęście jest jeszcze tw. sinusów.
Z twierdzenia sinusów, mamy:
\(\frac{|AC|}{\sin2\alpha} = \frac{2x}{\sin\alpha} \iff \frac{|AC|}{2\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{2x}{\sin\alpha} \So \cos\alpha= \frac{|AC|}{4x}\).

Wstawiamy do równości powyżej i .... a zresztą sam sprawdź.

Wszystko wychodzi, dzięki.