forum.zadania.info

Witam,
Mam problem z tym przykładem, głowie się i głowię, ale nie wychodzi mi poprawny wynik, tresc: Z pomocą indukcji matematycznej udowodnić, że następujące zależności zachodzą dla dowolnej liczby naturalnej n:
\(\sum_{i=n}^{2n-1}\)(2i+1) = 3*n^2

@edit
Siedzę i nie chcę odpuścić, a czas leci, a jeszcze przykładow / zadań do rozwiązania dużo .
Co tutaj robię nie tak?
Moje zapiski:
1) Pokazuje prawdziwosc dla: n = 1
3 = 3
2) zalozenie: dla m nalezacych do liczb naturalnych
\(\sum_{i=m}^{2m-1}\)(2i+1) = 3m^2
teza:
\(\sum_{i=m}^{2(m+1)-1}\)(2i+1) = 3(m+1)^2
\(\sum_{i=m}^{2(m+1)-1}\)(2i+1) = 3m^2+6m+3
Z tego wychodzi:
\(\sum_{i=m}^{2(m+1)-1}\)(2i+1) = 3m^2 + 6m +3
Udowadniam:
\(\sum_{i=m}^{2(m+1)-1}\)(2i+1) = \(\sum_{i=m}^{2m-1}\)(2i+1) + 2(2(m+1)-1)+1
Co daje:
\(\sum_{i=m}^{2(m+1)-1}\)(2i+1) = 3m^2 + 4m +3
Więc wychodzi:
3m^2 + 6m +3 \(\neq\) 3m^2 + 4m +3
Gdzie robię błąd, siedzę nad tym przykładem ponad godzinę i dalej sie zastanawiam, co jest nie tak???

Udowadniam:
\(\sum_{i=m}^{2(m+1)-1}\)(2i+1) = \(\sum_{i=m}^{2m-1}\)(2i+1) + 2(2(m+1)-1)+1

Skoro za m wstawiasz m+1, to w dolnej granicy też trzeba to zrobić. Poza tym \(2(m+1)-1=2m+1\), prawda?.
Wobec tego

• \(\sum_{i=m+1}^{2(m+1)-1}(2i+1) =\sum_{i=m+1}^{2m+1}(2i+1) =\sum_{i=m+1}^{2m-1}(2i+1) +2\cdot[(2m)]+1+2\cdot[(2m+1)]+1=\\
  = \sum_{i=m}^{2m-1}(2i+1)-(2m+1)+4m+1+4m+3=3m^2+6m+3=3(m+1)^2\)

i świat znowu stanął na nogach.

Trochę to zakręcone, ale trzeba odjąć jeden wyraz (dla i=m) z powodu dolnej granicy sumowania i dodać dwa wyrazy (dla i=2m oraz i=2m+1) z powodu górnej granicy sumowania.