stożek
: 18 mar 2016, 17:34
Z wycinka koła o promieniu 12 zrobiono powierzchnię boczną stożka. Oblicz miarę kąta, który wyznacza taki wycinek koła, że objętość stożka jest maksymalna.
Najpierw zauważ, że \(2\pi r= \frac{12\pi \alpha }{180}\) czyli \(r( \alpha )= \frac{ \alpha }{30}\) (i to jest w takiej jednostce jak 12 )
Potem przypomnij sobie wzór na objętość stożka:
\(V(r,h)= \frac{1}{3} \pi r^2h\) i z Twierdzenia Pitagorasa wyznacz \(h\) jako funkcję zmiennej \(r\)
\(h(r)= \sqrt{144-r^2}\)
No to mamy już
\(V(r)= \frac{1}{3} \pi r^2\sqrt{144-r^2}\)
Teraz wstawmy \(r( \alpha )= \frac{ \alpha }{30}\):
\(V( \alpha )= \frac{1}{3} \pi \left( \frac{ \alpha }{30}\right) ^2\sqrt{144-\left( \frac{ \alpha }{30}\right) ^2}\)
Dalej to już tylko rachunki (nie twierdzę, że łatwe).
(policzyć pochodną, zbadać jej znak , wyciągnąć wniosek)