suma n początkowych wyrazów ciągu \((a_n)\), \(n \ge 1\) wyraża się wzorem:
\(s_n=-n^2+6n\). Wyznacz wzór ogólny tego ciągu. Czy jest to ciąg arytmetyczny ? Jeśli tak, to udowodnij ten wniosek.
suma n początkowych wyrazów ciągu...
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
alibaba8000
- Stały bywalec
- Posty: 563
- Rejestracja: 15 paź 2015, 15:46
- Podziękowania: 360 razy
- Płeć:
-
dragon
- Rozkręcam się
- Posty: 43
- Rejestracja: 03 kwie 2012, 19:04
- Lokalizacja: Łódź
- Otrzymane podziękowania: 22 razy
- Płeć:
Re: suma n początkowych wyrazów ciągu...
\(S_n= \frac{a_1+a_n}{2} \cdot n= \frac{a_1+a_1+(n-1)r}{2} \cdot n= \frac{2a_1+nr-r}{2} \cdot n= \frac{r}{2}n^2+ \frac{2a_1-r}{2}n\).
Po porównaniu współczynników:
\(\frac{r}{2}=-1 \So r=-2\)
\(\frac{2a_1+2}{2}=6 \So a_1=5\)
Tak więc: \(a_n=5+(n-1) \cdot (-2)=5-2n+2=-2n+7\)
Gdyby teraz zapisać wzór na \(S_n\) na podstawie \(a_n\), to wyszłoby (po przekształceniach) jw., więc jest to ciąg arytmetyczny.
Można również znaleźć \(a_n\) wg wzoru: \(a_{n+1}=S_{n+1}-S_n\), a następnie przetransformować \(a_{n+1}\) na \(a_n\)
Po porównaniu współczynników:
\(\frac{r}{2}=-1 \So r=-2\)
\(\frac{2a_1+2}{2}=6 \So a_1=5\)
Tak więc: \(a_n=5+(n-1) \cdot (-2)=5-2n+2=-2n+7\)
Gdyby teraz zapisać wzór na \(S_n\) na podstawie \(a_n\), to wyszłoby (po przekształceniach) jw., więc jest to ciąg arytmetyczny.
Można również znaleźć \(a_n\) wg wzoru: \(a_{n+1}=S_{n+1}-S_n\), a następnie przetransformować \(a_{n+1}\) na \(a_n\)