ośmiościan wpisany w sześcian
: 02 mar 2010, 14:55
Środki ścian bocznych sześcianu są wierzchołkami ośmiościanu foremnego. Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równa P. Oblicz pole powierzchni ośmiościanu.
Jeśli krawędź sześcianu oznaczymy a, to długość krawędzi ośmiościanu to połowa przekątnej kwadratu- ściany sześcianu. Na przekroju sześcianu płaszczyzną równoległą do ściany, przechodzącą przez środki ścian mamy kwadrat wpisany w kwadrat tak, że wierzchołki kwadratu wpisanego to środki boków kwadratu zewnętrznego. Stąd- krawędź ośmiościanu ma długość równą \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\).
Powierzchnia sześcianu to 6 kwadratów o boku a.
\(6a^2=P\\a^2=\frac{P}{6}\)
Powierzchnia ośmiościanu to osiem trójkątów równobocznych.:
\(P_o=8\cdot\frac{(\frac{a\sqrt{2}}{2})^2\sqrt{3}}{4}=2\cdot\frac{2a^2}{4}\sqrt{3}=\\=a^2\sqrt{3}\\P_o=\frac{P}{6}\sqrt{3}=\frac{P\sqrt{3}}{6}\)