forum.zadania.info

Witam,
bardzo proszę o pomoc w udowodnieniu poniższego zadania.

Sześcian ABCDA'B'C'D' przecięto płaszczyzną C'M'N', gdzie M' i N' są środkami boków odpowiednio AB i AD. Udowodnij, że cosinus kąta nachylenia tego przekroju do płaszczyzny podstawy jest równy \(\frac{3}{ \sqrt{17} }\).

Z góry bardzo dziękuję!

Środek odcinka M'N' przecina przekątną AC w punkcie P i \(|AP|= \frac{1}{4}|AC|\;\;\;\;\;to\;\;\;\;|PC|= \frac{3}{4}\cdot a \sqrt{2}= \frac{3a \sqrt{2} }{4}\)
\(|CC'|=a\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;\;|PC'|^2=|CC'|^2+|PC|^2=a^2+ \frac{18a^2}{16}=a^2+ \frac{9}{8}a^2= \frac{17}{8}a^2\\|PC'|= \frac{ \sqrt{17} }{2 \sqrt{2} }a\)
\(cos\alpha= \frac{PC}{PC'}= \frac{ \frac{3a \sqrt{2} }{4} }{ \frac{ \sqrt{17}a }{2 \sqrt{2} } }= \frac{3 \sqrt{2} }{4} \cdot \frac{2\sqrt{2} }{ \sqrt{17} }= \frac{3}{ \sqrt{17} }\)