forum.zadania.info

Zad.1 Zbadać czy jest twierdzeniem rachunku kwantyfikatorów następująca formuła:
a) \(\exists_x \left[ \varphi(x) \wedge \psi(x) \right] \to \left[ \exists_x\varphi(x) \wedge \exists_x\psi(x) \right]\)

b) \(\forall_x \left[ \varphi(x) \vee \psi(x)\right] \to \left[ \sim \left ( \exists _x\psi(x) \right) \to \exists _x\varphi(x)\right]\)



Proszę o pomoc

dante666 pisze:Zad.1 Zbadać czy jest twierdzeniem rachunku kwantyfikatorów następująca formuła:
a) \(\exists_x \left[ \varphi(x) \wedge \psi(x) \right] \to \left[ \exists_x\varphi(x) \wedge \exists_x\psi(x) \right]\)

Niech \(p: \exists x[ \varphi (x) \wedge \psi (x) ] \\ q: [ \exists x: \varphi (x) \wedge \exists x: \psi (x)]\)

Zakładamy, że p jest zdaniem prawdziwym dla \(x=x_0\) zatem:
\(p \quad (1) \\ \exists x [ \varphi (x) \wedge \psi (x) ] \quad (1) \iff \\ \varphi (x_0) \wedge \psi (x_0) \quad (1) \iff \\ \varphi (x_0) \quad (1) \wedge \psi (x_0) \quad (1) \So \\ \exists x: \varphi (x) \wedge \exists x: \psi (x) \quad (1) \\ q \quad (1) \\ p \So q \quad (1)\)

Dana formuła jest twierdzeniem.