forum.zadania.info

Powierzchnia boczna stożka jest wycinkiem koła o promieniu \(R\) i kącie środkowym o mierze \(216^ \circ\) . Stozek ten przecięto płaszczyzna przechodzącą przez jego wierzchołek i nachyloną do płaszczyzny jego podstawy pod kątem o mierze \(\alpha\) . Sprawdź że pole otrzymanego przekroju jest równe \(\frac{4R^2 \sqrt{9 \tg^2 \alpha -16} }{25 \tg \alpha \cdot \sin \alpha}\) . Jaki warunek musiał spełnić \(\tg \alpha\) , aby istniał przekrój stożka opisany w zadaniu?

Z obwodu podstawy mamy:

\(2\pi r=2\pi R\cdot\frac{216}{360}\quad\Rightarrow\quad r=\frac{3}{5}R\quad\Rightarrow\quad H=\sqrt{R^2-r^2}=\frac{4}{5}R\\\)
Przekrój jest trójkątem o wysokości \(h=\frac{H}{\sin\alpha}=\frac{4R}{5\sin\alpha}\) i podstawie \(p=2\sqrt{r^2-(H\ctg\alpha)^2}=\frac{2R}{5}\sqrt{9-16\ctg^2\alpha}\). Zatem pole to \(\frac{1}{2}ph=\frac{4R^2\sqrt{9-16\ctg^2\alpha}}{25\sin\alpha}=\frac{4R^2\sqrt{9\tg^2\alpha-16}}{25\tg\alpha\cdot\sin\alpha}\). Musi być \(\tg\alpha\ge\frac{H}{r}=\frac{4}{3}\)