Bryła obrotowa
: 01 mar 2010, 15:15
Obwód trójkąta równoramiennego jest równy k, a kąt między ramionami ma miarę \(\alpha\). Trójkąt ten obraca się wokół podstawy. Oblicz objętość powstałej bryły.
a- podstawa trójkąta
b- ramię trójkąta
W wyniku obrotu tego trójkąta otrzymujemy dwa stożki złączone podstawami. Promień podstawy tych stożków to wysokość trójkąta opuszczona na podstawę, a wysokość stożków to połowa podstawy trójkąta.
r- promień podstawy stożków
H- wysokość stożków.
\(\begin{cases}a+2b=k\\\frac{a}{2b}=sin(\frac{\alpha}{2}) \end{cases} \\k-2b=2b\ sin(\frac{\alpha}{2})\\b=\frac{k}{2(1+sin(\frac{\alpha}{2}))}\)
\(\frac{r}{b}=cos(\frac{\alpha}{2})\\r=b\ cos(\frac{\alpha}{2})\\r=\frac{k\ cos(\frac{\alpha}{2})}{2(1+sin(\frac{\alpha}{2}))}\)
\(\frac{H}{b}=sin(\frac{\pi}{2})\\H=\frac{k\ sin(\frac{\alpha}{2})}{2(1+sin(\frac{\alpha}{2}))}\)
\(V=2\cdot\frac{1}{3}\pi\ r^2H\\V=\frac{2}{3}\pi\cdot\frac{k^2cos^2(\frac{\alpha}{2})}{4(1+sin(\frac{\alpha}{2}))^2}\cdot\frac{k\ sin(\frac{\alpha}{2})}{2(1+sin(\frac{\alpha}{2})}\\V=\frac{2}{3}\pi\cdot\frac{k^3sin(\frac{\alpha}{2})cos^2(\frac{\alpha}{2})}{8(1+sin(\frac{\alpha}{2}))^3}=\frac{k^3\ \pi\ sin\alpha\ cos(\frac{\alpha}{2})}{24(1+sin(\frac{\alpha}{2}))^3}\)