forum.zadania.info

1.Dane jest równanie \(a^2(x^2-6)+ax=a^2-1\) z parametrem a. Wyznacz wszystkie dodatnie wartości parametru a, dla których równanie ma dwa różne pierwiastki całkowite.

2.Wyznacz wartość parametru a, dla której pierwiastki równania \(x^3+ax^2-6x-8=0\) tworzą ciąg geometryczny. Rozwiąż to równanie dla wyznaczonej wartości a.

Artegor pisze: 2.Wyznacz wartość parametru a, dla której pierwiastki równania \(x^3+ax^2-6x-8=0\) tworzą ciąg geometryczny. Rozwiąż to równanie dla wyznaczonej wartości a.

\(x^3+ax^2-6x-8=0\\\)
\(b, bq, bq^2\) - pierwiastki równania

\((x-b)(x-bq)(x-bq^2)=x^2+ax^2-6x-8\\
(x-b)(x^2-xbq^2-bqx+b^2q^3)=x^2+ax^2-6x-8\\
x^3-x^2bq^2-bqx^2+b^2q^3x-bx^2+xb^2q^2+b^2qx-b^3q^3 =x^2+ax^2-6x-8\\
x^3+x^2(-bq^2-bq-b)+x(b^2q^3+b^2q^2+b^2q)-b^3q^3=x^2+ax^2-6x-8\)

\(-b^3q^3=-8\;\;\So\;\;bq=2\\
b^2q^3+b^2q^2+b^2q=-6\\
(bq)^2q+(bq)^2+(bq)b=-6\\
4q+4+2b=-6\\
2b=-10-4q\\
b=-5-2q\)

\(bq=2\\
(-5-2q)q=2\\
-2q^2-5q-2=0\\
q=-\frac{1}{2}\;\; \vee \;\;q=-2\)
\(b=-4\;\;\;\vee\;\;\;b=-1\)

dla \(q=-\frac{1}{2}\;\; \wedge \;\;\;b=-4:\)
\(-bq^2-bq-b=a\\
a=3\)

dla \(q=-2\;\; \wedge \;\;\;b=-1:\)
\(-bq^2-bq-b=a\\
a=3\)

\(x^3+3x^2-6x-8=0\\
(x+1)(x^2+2x-8)=0\\
(x+1)(x+4)(x+2)=0\\
x_1=1\\
x_2=-4\\
x_3=-2\)

W zadaniu 1 wyliczyć deltę, następnie wzory viete'a?

Kiedy pierwiastki będą całkowite?

Kiedy suma pierwiastków jest całkowita, czyli wzór Viète'a na sumę pierwiastków.

marys_mich pisze: ↑13 kwie 2021, 22:26 Kiedy suma pierwiastków jest całkowita, czyli wzór Viète'a na sumę pierwiastków.

Nieprawda, np : \(x^2-2x+ \frac{3}{4} =0\).
Suma pierwiastków całkowita, a pierwiastki nie .

Ad 1. Pewnie chodziło o odwrotną implikację:
Skoro pierwiastki mają być całkowite, to ich suma oraz iloczyn także będą całkowite.
Dlatego należy sprawdzić jedynie dwie wartości parametru a, tj a=1 lub a=-1.


Edit:
Ech, znów źle policzyłem w pamięci.

Ponieważ

Artegor pisze: ↑15 lut 2016, 10:18 ... Wyznacz wszystkie dodatnie wartości parametru a, ...

czyli niekoniecznie całkowite... Skoro równanie jest równoważne
\((2ax+1)^2=28a^2-3\)
to, np.
\(a={1\over2}\So (x=-3\vee x=1)\)
i zadanie zaniedbaliśmy do czasu archeologicznego odkrycia przez marys_mich

Pozdrawiam

Artegor pisze: ↑15 lut 2016, 10:18 1.Dane jest równanie \(a^2(x^2-6)+ax=a^2-1\) z parametrem a. Wyznacz wszystkie dodatnie wartości parametru a, dla których równanie ma dwa różne pierwiastki całkowite.

\( a^2(x^2 - 6) + ax = a^2 - 1 \)
\( 1^o \ a = 0 \)
Tutaj po podstawieniu dostajemy sprzeczność \( 0 = 1 \)
\( 2^o \ a \neq 0 \)
Przekształcamy równanie do postaci:
\( x^2 + \frac{1}{a}x + \frac{1}{a^2} - 7 = 0 \)
Chcemy aby pierwiastki były całkowite. Zatem całkowite musi być równiez \( x_1 + x_2 = -\frac{1}{a} \), co oznacza, że \( a \) jest odwrotnością liczby naturalnej. Możemy zapisać \( a = \frac{1}{k} \) dla pewnego naturalnego \( k \).
Ponadto pierwiastki muszą istnieć i być różne od siebie, więc w szczególności: \( \Delta = 28 - \frac{3}{a^2} = 28 - 3k^2 > 0 \) skąd otrzymujemy możliwe rozwiązania: \( k = 1,2,3 \) oraz odpowiadające im wartości \( a = 1 , \frac{1}{2} , \frac{1}{3} \). Wystarczy sprawdzić ręcznie które z nich spełniają warunki zadania.
Po sprawdzeniu otrzymujemy odpowiedź:
\( a = 1 \vee a = \frac{1}{2} \vee a = \frac{1}{3} \).