Zadania z ciagów i szeregow do przecwiczenia.

[bart_shiv]

Witam, przerabiając ciagi oraz szeregi natknałem sie na kilka zastanawiajacych mnie przykladów

a) \(\Lim_{x\to -\infty} \sqrt[n]{2^nn^2+3^n n}\)
w tym przykladzie korzystam z tw o trzech ciagach, i wychodzi mi 3?

b) \(\Lim_{x\to 0 }\frac{\sin 2x}{x}(sin x^{-1}) - 2sin(x^{-1})\)
tutaj mnoze licznik i mianownik \(* sin x\)? wychodzi granica = 0

c) \(\sum_{ n=1 }^{ \infty } \frac{n^2+ \pi n }{n^2+n^3 }\)
tutaj widze ze owy szereg jest zbiezny i zaczynam liczyc go jak zwykla granice, podejrzewam ze zle to robie

d)\(\sum_{ n=1 }^{ \infty } \frac{{(n!)}^n}{n^{2n}}\)
szereg harmoniczny?

bardzo prosilbym o pokierowanie mnie jak rozwiazac te przyklady:)

[patryk00714]

d) kryterium Cauchy'ego: wówczas \(\sqrt[n]{a_n}=\frac{n!}{n^2} \to^{n \to \infty} \infty\). Wniosek?

[patryk00714]

w a) z tego co widzę masz granicę w \(-\infty\).

[bart_shiv]

w a) granica \(\infty\) juz poprawione wychodzi mi 3, nie jestem pewien czy ok?

[bart_shiv]

a)3
b) 0
c) nie potrafie zrobic, wyciagam przed nawias i co dalej?
d)n=1 wiec \(\frac{n!}{n^2} =1?\)

[radagast]

c) \(\sum_{ n=1 }^{ \infty } \frac{n^2+ \pi n }{n^2+n^3 }\)
tutaj widze ze owy szereg jest zbiezny i zaczynam liczyc go jak zwykla granice, podejrzewam ze zle to robie

nie, on jest rozbieżny:
\(\frac{n^2+ \pi n }{n^2+n^3 }= \frac{1+ \frac{\pi}{n} }{1+n }> \frac{1}{n}\)

[bart_shiv]

ok dziekuje juz rozumiem, przyrownuje do harmonicznego a jak wyglada sprawa z wynikiem przykladu d) wychodzi \(\frac{n!}{n^2}\)i teraz uzywam tutaj kryterium d'alamberta? czyli jakby dwa kryteria do 1 przykladu/

[radagast]

nie ,
\(\Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{a_n}= \Lim_{n\to \infty } \frac{n!}{n^2}= \infty >1\)
wniosek: szereg jest rozbieżny

[bart_shiv]

ok teraz rozumiem dziekuje jeszcze pytanie co do warunku koniecznego zbieznosci szeregu, kiedy go uzywac? nie za bardzo lapie kiedy ma zastosowanie (jak mam jakis bardzo skomplikowany przyklad? zaczynam od liczenia granicy? )bo ogolnie,
sin cos przewaznie uzywamy kryterium porownawcze
silnie do d alamberta
potegi itd cauchy'ego

z gory dzieki

[bart_shiv]

\(\sum_{ n=1 }^{ \infty } \frac{{(n!)}^2}{n^{2n}}\)

przy takim szeregu rowniez stosuje cauchyego?