forum.zadania.info

Udowodnij, że relacja R jest przechodnia wtedy i tylko wtedy, gdy \(R \circ R \subset R\)

Niech f: X -> Y , g: Y -> Z będą przekształceniami róznowartościowymi. Udowodnij , że \(g \circ f\) jest również przekształceniem różnowartościowym.

djarta pisze:
Niech f: X -> Y , g: Y -> Z będą przekształceniami róznowartościowymi. Udowodnij , że \(g \circ f\) jest również przekształceniem różnowartościowym.

http://forum.zadania.info/viewtopic.php?f=45&t=77388 zadanie 1 b

Niech \((a,b)\in R\circ R\). Zatem dla pewnego \(c\) mamy \((a,c)\in R\) i \((c,b)\in R\). Jeśli \(R\) jest przechodnia, to wtedy \((a,b)\in R\). Stąd wynika \(R\circ R\subset R\). Teraz zakładamy \(R\circ R\subset R\) i niech \((a,c)\in R\) i \((c,b)\in R\). Wtedy \((a,b)\in R\circ R\), ale równocześnie \((a,b)\in R\), skąd wynika przechodność \(R\).