Wspólne styczne do wykresu funkcji
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Fachowiec
- Posty: 1608
- Rejestracja: 01 lip 2010, 10:44
- Podziękowania: 1680 razy
- Otrzymane podziękowania: 3 razy
Wspólne styczne do wykresu funkcji
Wyznacz równania wspólnych stycznych do wykresów funkcji \(f(x)=2x^2 i g(x)=-2(x-1)^2\).
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Wzór na styczną do funkcji f w punkcie \((x_s,y_s): y=f(x_s)=f'(x_s)(x-x_s)\)
\((x_0,y_0)\) - punkt styczności funkcji f
\((x_1,y_1)\) - punkt styczności funkcji g
\(f(x)=2x^2 \So f'(x)=4x\), więc \(f(x_0)=2x^2_0,\,\,\, f'(x_0)=4x_0\)
\(g(x)=-2(x-1)^2 \So g'(x)=-4(x-1)\), więc \(g(x_1)=-2(x_1-1)^2,\,\,\, g'(x_1)=-4(x_1-1)\)
Zapiszmy równania stycznych.
\((x_0,y_0)\) - punkt styczności funkcji f
\((x_1,y_1)\) - punkt styczności funkcji g
\(f(x)=2x^2 \So f'(x)=4x\), więc \(f(x_0)=2x^2_0,\,\,\, f'(x_0)=4x_0\)
\(g(x)=-2(x-1)^2 \So g'(x)=-4(x-1)\), więc \(g(x_1)=-2(x_1-1)^2,\,\,\, g'(x_1)=-4(x_1-1)\)
Zapiszmy równania stycznych.
- Do funkcji f:
\(y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0) \iff y=2x^2_0+4x_0(x-x_0) \iff y=4xx_0-2x^2_0\)
- do funkcji g: \(y-g(x_1)=g'(x_1)(x-x_1) \iff y=-4(x_1-1)(x-x_1)-2(x_1-1)^2 \iff y=-4(x_1-1)x+2x^2_1-2.\)
Odpowiedź: Po rozwiązaniu tego układu (DIY) otrzymujemy dwie wspólne styczne: y=0 oraz y=4x-2
-
- Witam na forum
- Posty: 9
- Rejestracja: 12 kwie 2019, 20:45
Re: Wspólne styczne do wykresu funkcji
Styczne do wykresu funkcji są prostymi. Dwie proste są sobie równe gdy mają takie same równania (Równanie prostej: y= ax+b), tzn. mają takie same współczynniki a(to co stoi przy x) i przy b(wyraz wolny). Czyli współczynnik przy \(a\) funkcji \(f\) musi się równać współczynnikowi przy \(a\) funkcji \(g\), współczynnik przy \(b\) funkcji \(f\) musi się równać współczynnikowi przy \(b\) funkcji \(g\) .Dla funkcji \(f\) współczynnik przy \(a\) ma postać \( 4x_0\), a współczynnik przy \(b\) \( -2x^2_0\). Dla funkcji \(g\) współczynnik przy \(a\) ma postać \(-4(x_1-1)\) a współczynnik przy \(b\) ma postać \(2x^2_1-2\). Teraz musisz rozwiązać ten układ równań.
\(x_0\) i \(x_1\) oznaczają punkt styczności (na osi x) prostej oraz funkcji do której ta prosta jest styczna
\(x_0\) i \(x_1\) oznaczają punkt styczności (na osi x) prostej oraz funkcji do której ta prosta jest styczna