forum.zadania.info

Wyznacz równania wspólnych stycznych do wykresów funkcji \(f(x)=2x^2 i g(x)=-2(x-1)^2\).

Wzór na styczną do funkcji f w punkcie \((x_s,y_s): y=f(x_s)=f'(x_s)(x-x_s)\)

\((x_0,y_0)\) - punkt styczności funkcji f
\((x_1,y_1)\) - punkt styczności funkcji g
\(f(x)=2x^2 \So f'(x)=4x\), więc \(f(x_0)=2x^2_0,\,\,\, f'(x_0)=4x_0\)
\(g(x)=-2(x-1)^2 \So g'(x)=-4(x-1)\), więc \(g(x_1)=-2(x_1-1)^2,\,\,\, g'(x_1)=-4(x_1-1)\)

Zapiszmy równania stycznych.

• Do funkcji f:
  \(y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0) \iff y=2x^2_0+4x_0(x-x_0) \iff y=4xx_0-2x^2_0\)

• do funkcji g: \(y-g(x_1)=g'(x_1)(x-x_1) \iff y=-4(x_1-1)(x-x_1)-2(x_1-1)^2 \iff y=-4(x_1-1)x+2x^2_1-2.\)

Ponieważ ma to być wspólna styczna, więc te równania maja być identyczne, czyli \[\begin{cases}4x_0=-4(x_1-1)\\-2x^2_0=2x^2_1-2 \end{cases}\]

Odpowiedź: Po rozwiązaniu tego układu (DIY) otrzymujemy dwie wspólne styczne: y=0 oraz y=4x-2

Cześć, jak utworzyłeś ten ostatni układ równań?

Styczne do wykresu funkcji są prostymi. Dwie proste są sobie równe gdy mają takie same równania (Równanie prostej: y= ax+b), tzn. mają takie same współczynniki a(to co stoi przy x) i przy b(wyraz wolny). Czyli współczynnik przy \(a\) funkcji \(f\) musi się równać współczynnikowi przy \(a\) funkcji \(g\), współczynnik przy \(b\) funkcji \(f\) musi się równać współczynnikowi przy \(b\) funkcji \(g\) .Dla funkcji \(f\) współczynnik przy \(a\) ma postać \( 4x_0\), a współczynnik przy \(b\) \( -2x^2_0\). Dla funkcji \(g\) współczynnik przy \(a\) ma postać \(-4(x_1-1)\) a współczynnik przy \(b\) ma postać \(2x^2_1-2\). Teraz musisz rozwiązać ten układ równań.

\(x_0\) i \(x_1\) oznaczają punkt styczności (na osi x) prostej oraz funkcji do której ta prosta jest styczna