ciągi - równanie

[Leeway1234]

Czy mógłby mi ktoś prosze rozpisac przejscie w tym rownaniu?

\(1-q^6=72(1-q^3)\\
72q^6-q^3-1=0\)

[panb]

Masz na myśli przejście z pierwszej linijki do drugiej?

[Leeway1234]

tak, bo jak ja liczylam to wychodzi mi inaczej a wkluczu do zadania jest właśnie tak

[Leeway1234]

mi wychodzi
\(72q^6 - q^3 -1=0\)

wtedy robie podstawienie:
\(t=q^3\) i \(\Delta = 4900\) \(\sqrt{ \Delta } =70\) ... no, ale to jest źle raczej

[panb]

Jakie to zadanie?
Pierwsza linijka i druga NIE SĄ równoważne.
W pierwszej linijce 1 jest jednym z pierwiastków - nie jest to pierwiastek drugiej linijki.

Może źle przepisałaś? Może to drugie równanie było BEZ \(q^6\)?

[Leeway1234]

Zadanie:
Suma sześciu początkowych wyrazów malejącego ciągu geometrycznego (an) jest 72 razy większa od sumy trzech następnych jego wyrazów. Wyznacz wzór ogólny ciągu, jeżeli iloczyn wyrazów drugiego i czwartego jest równy 4.

[panb]

Sprawdź, czy NA PEWNO w drugim jest \(q^6\).

[Leeway1234]

Ok, już chyba wiem, ale nie jestem pewna czy dobrze. Bo tak w tym zadaniu muszę utworzyć układ

\(S_6=S_3\)
\(a_7 = a_1 \cdot q^6\)
czyli mam:
\(a_1 \cdot \frac{1-q^6}{1-q}= 72 \cdot a_1 \cdot q_6 \cdot \frac{1-q^3}{1-q}\)
\(1-q^6=72q^6(1-q^3)\)
\((1-q^3)(1+q^3)=72q^6 (1-q^3)\)
\((1+q^3) = 72q^6\)

\(72q^6-q^3-1=0\)
i potem robie podtawienie \(t=q^6\)i \(\Delta\)?

[Leeway1234]

bo w treści zadania mam , że suma kolejnych trzech, czyli jakby pierwszym wyrazem jest\(a_7\) ?

[eresh]

układ powinien być taki:
\(\begin{cases}\frac{a_1(1-q^6)}{1-q}=72(a_7+a_8+a_9)\\ a_2a_4=4\end{cases}\)

[Leeway1234]

Ok, dziekuje

[Leeway1234]

wyszło mi, że \(q_1= \frac{1}{2}\) \(\vee\) \(q_2= -\frac{1}{ \sqrt[3]{9} }\)
i w kluczu jest, że \(q_2\) muszę odrzucić. dlaczego? dlatego, że\(q \in (-1;1)\)? bo nawet wtedy by się chyba mieściło, \(q_2 \approx -0,469..\)

[eresh]

wyszło mi, że \(q_1= \frac{1}{2}\) \(\vee\) \(q_2= -\frac{1}{ \sqrt[3]{9} }\)
i w kluczu jest, że \(q_2\) muszę odrzucić. dlaczego? dlatego, że\(q \in (-1;1)\)? bo nawet wtedy by się chyba mieściło, \(q_2 \approx -0,469..\)

bo ciąg ma być malejący

[Leeway1234]

i potem jak przyjmę, że \(q= \frac{1}{2}\)
to z \(a_2 \cdot a_4=4\)
otrzymuje \(a^{2}_{1}=64\) czyli \(a_1= 6\) \(\vee\) \(a_1= -8\)
i \(a_1= - 8\) muszę odrzucić według klucza, ale też nie wiem dlaczego?
wtedy otrzymuje wzór ogólny: \((\frac{1}{2})^{n-4}.\)

[Leeway1234]

"Jeżeli 0<q<1 i a1>0, to ciąg geometryczny jest malejący"


OK, już rozumiem.