Na przekątnych AB i CD sąsiednich ścian bocznych sześcianu (przekątne AB i CD leżą na prostych skośnych) wybrano punkty E i F tak, że |AE|:|EB|=|DF|:|FC|=2:1. Wykaż, że odcinek EF jest prostopadły do przekątnych AB i CD.
Wskazówka: wykaż, że odcinek EF jest wysokością trójkąta CED
Sześcian
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
\(|AC|=|BD|=a\\|AB|=|CD|=a\sqrt{2}\\|AE|=|FD|=\frac{2a\sqrt{2}}{3}\\|EB|=|CF|=\frac{a\sqrt{2}}{3}\)
W trójkącie ACE:
\(|EC|=x\\| \angle CAE|=45^o\\x^2=(\frac{2a\sqrt{2}}{3})^2+a^2-2\cdot\frac{2a\sqrt{2}}{3}\cdot\ a\cdot\ cos45^o\\x^2=\frac{8}{9}a^2+a^2-\frac{4a^2\sqrt{2}}{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\\x^2=\frac{17}{9}a^2-\frac{4}{3}a^2\\x^2=\frac{5}{9}a^2\\x=\frac{a\sqrt{5}}{3}\)
W trójkącie EBD:
\(| \angle DBE|=90^o\\|ED|=y\\y^2=a^2+(\frac{a\sqrt{2}}{3})^2\\y^2=a^2+\frac{2}{9}a^2\\y^2=\frac{11}{9}a^2\\y=\frac{a\sqrt{11}}{2}\)
W trójkącie CED:
\(\angle DCE=\alpha\\|CE|=\frac{a\sqrt{5}}{3}\\|ED|=\frac{a\sqrt{11}}{3}\\|CD|=a\sqrt{2}\\|CF|=\frac{a\sqrt{2}}{3}\\|FD|=\frac{2a\sqrt{2}}{3}\\|ED|^2=|EC|^2+|CD|^2-2|EC|\cdot|CD|\cdot\ cos\alpha\\(\frac{a\sqrt{11}}{3})^2=(\frac{a\sqrt{5}}{3})^2+(a\sqrt{2})^2-2\cdot\frac{a\sqrt{5}}{3}\cdot\ a\sqrt{2}\cdot\ cos\alpha\\\frac{11}{9}a^2=\frac{5}{9}a^2+2a^2-\frac{2a^2\sqrt{10}}{3}\cdot\ cos\alpha\\cos\alpha=\frac{\sqrt{10}}{5}\)
W trójkącie CEF:
\(|EF|=k\\k^2=|CE|^2+|CF|^2-2\cdot|CE|\cdot|CF|\cdot\ cos\alpha\\k^2=(\frac{a\sqrt{5}}{3})^2+(\frac{a\sqrt{2}}{3})^2-2\cdot\frac{a\sqrt{5}}{3}\cdot\frac{a\sqrt{2}}{3}\cdot\frac{\sqrt{10}}{5}\)
\(k^2=\frac{5}{9}a^2+\frac{2}{9}a^2-\frac{2a^2\sqrt{10}}{9}\cdot\frac{\sqrt{10}}{5}\\k^2=\frac{7}{9}a^2-\frac{4}{9}a^2\\k^2=\frac{a^2}{3}\\k=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)
W trójkącie CEF:
\(|CE|^2=\frac{5}{9}a^2\\|CF|^2=\frac{2}{9}a^2\\|EF|^2=\frac{3}{9}a^2\\|EC|^2=|CF|^2+|EF|^2 \Rightarrow | \angle EFC|=90^o\)
Czyli EF jest wysokością w trójkącie CED. Czyli \(EF \perp CD\).
Analogicznie: W trójkącie ABF odcinek EF jest wysokością, czyli \(EF \perp AB\).
W trójkącie ACE:
\(|EC|=x\\| \angle CAE|=45^o\\x^2=(\frac{2a\sqrt{2}}{3})^2+a^2-2\cdot\frac{2a\sqrt{2}}{3}\cdot\ a\cdot\ cos45^o\\x^2=\frac{8}{9}a^2+a^2-\frac{4a^2\sqrt{2}}{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\\x^2=\frac{17}{9}a^2-\frac{4}{3}a^2\\x^2=\frac{5}{9}a^2\\x=\frac{a\sqrt{5}}{3}\)
W trójkącie EBD:
\(| \angle DBE|=90^o\\|ED|=y\\y^2=a^2+(\frac{a\sqrt{2}}{3})^2\\y^2=a^2+\frac{2}{9}a^2\\y^2=\frac{11}{9}a^2\\y=\frac{a\sqrt{11}}{2}\)
W trójkącie CED:
\(\angle DCE=\alpha\\|CE|=\frac{a\sqrt{5}}{3}\\|ED|=\frac{a\sqrt{11}}{3}\\|CD|=a\sqrt{2}\\|CF|=\frac{a\sqrt{2}}{3}\\|FD|=\frac{2a\sqrt{2}}{3}\\|ED|^2=|EC|^2+|CD|^2-2|EC|\cdot|CD|\cdot\ cos\alpha\\(\frac{a\sqrt{11}}{3})^2=(\frac{a\sqrt{5}}{3})^2+(a\sqrt{2})^2-2\cdot\frac{a\sqrt{5}}{3}\cdot\ a\sqrt{2}\cdot\ cos\alpha\\\frac{11}{9}a^2=\frac{5}{9}a^2+2a^2-\frac{2a^2\sqrt{10}}{3}\cdot\ cos\alpha\\cos\alpha=\frac{\sqrt{10}}{5}\)
W trójkącie CEF:
\(|EF|=k\\k^2=|CE|^2+|CF|^2-2\cdot|CE|\cdot|CF|\cdot\ cos\alpha\\k^2=(\frac{a\sqrt{5}}{3})^2+(\frac{a\sqrt{2}}{3})^2-2\cdot\frac{a\sqrt{5}}{3}\cdot\frac{a\sqrt{2}}{3}\cdot\frac{\sqrt{10}}{5}\)
\(k^2=\frac{5}{9}a^2+\frac{2}{9}a^2-\frac{2a^2\sqrt{10}}{9}\cdot\frac{\sqrt{10}}{5}\\k^2=\frac{7}{9}a^2-\frac{4}{9}a^2\\k^2=\frac{a^2}{3}\\k=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)
W trójkącie CEF:
\(|CE|^2=\frac{5}{9}a^2\\|CF|^2=\frac{2}{9}a^2\\|EF|^2=\frac{3}{9}a^2\\|EC|^2=|CF|^2+|EF|^2 \Rightarrow | \angle EFC|=90^o\)
Czyli EF jest wysokością w trójkącie CED. Czyli \(EF \perp CD\).
Analogicznie: W trójkącie ABF odcinek EF jest wysokością, czyli \(EF \perp AB\).