Sinus
: 18 sty 2016, 23:39
Jak obliczyć \(\sin \frac{\pi}{5}\) i \(\sin \frac{2\pi}{5}\)?
Wiem, jakie mają wzory, ale jak dokładnie je policzyć?
Wiem, jakie mają wzory, ale jak dokładnie je policzyć?
\(e^{5ix}=(e^{ix})^5\\
\cos 5x+i\sin 5x=(\cos x+i\sin x)^5=\\
=\cos^5x+5i\cos^4x\sin x-10\cos^3x\sin^2x-10i\cos^2x\sin^3x+5\cos x\sin^4x+i\sin^5x\\
\sin 5x=5\cos^4x\sin x-10\cos^2x\sin^3x+\sin^5x=\sin x(5\cos^4x-10\cos^2x\sin^2x+\sin^4x)=\\
=\sin x(5(1-\sin^2x)^2-10(1-\sin^2x)\sin^2x+\sin^4x)=\sin x(16\sin^4x-20\sin^2x+5)=\\
=16\sin x\left(\sin^2x-\frac{5-\sqrt{5}}{8}\right)\left(\sin^2x-\frac{5+\sqrt{5}}{8}\right)\\
\sin\pi=0=16\sin\frac{\pi}{5}\left(\sin^2\frac{\pi}{5}-\frac{5-\sqrt{5}}{8}\right)\left(\sin^2\frac{\pi}{5}-\frac{5+\sqrt{5}}{8}\right)\\\sin^2\frac{\pi}{5}=\frac{5-\sqrt{5}}{8}\\
\sin\frac{\pi}{5}=\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}}\)