forum.zadania.info

1.Duża bombka na choinkę kosztuje 5 monet, średnia 3 monety, a za trzy małe bombki w kształcie aniołka trzeba zapłacić jedną monetę. Za sto monet kupiono sto bombek na choinkę. Ile wśród nich było dużych, średnich i małych? Rozważ wszystkie możliwości.
2.Znajdujemy ostateczną sumę cyfr liczby naturalnej - sumujemy jej cyfry i jeżeli wynik nie jest jednocyfrowy, to operację powtarzamy do skutku. Na przykład ostateczną sumą cyfr liczby 78987 jest 3, gdyż 7+8+9+8+7=39, 3+9=12, 1+2=3 i do jej obliczenia potrzeba trzykrotnego sumowania cyfr. Podaj najmniejszą liczbę, która wymaga czterokrotnego sumowania, aby wyznaczyć ostateczną sumę jej cyfr.

Pozdrawiam

kupiono: m dużych bombek, n średnich bombek i 3k małych
zapłacono: 5m za duże, 3n za średnie i k za małe bombki

\(m+n+3k=100 \wedge 5m+3n+k=100 \So 4m+2n-2k=0 \iff 2m+n=k\)
Skoro \(5m+3n+k=100 \iff 5m+3n+2m+n=100 \iff 7m=100-4n \iff 7m=4(25-n)\)
Z tego zapisu wynika, że m musi być wielokrotnością 4, czyli \(m=4c\).
Teraz \(7\cdot 4c=4(25-n) \So 25-n=7c \So n=4 \vee n=11 \vee n=18\).
Mamy więc rozwiązanie. Zakupiono następujące ilości bombek: \[\begin{array}{c|c|c}
duże&średnie&małe \\ \hline12&4&84\\ \hline 8&11&81 \\ \hline4&18&78
\end{array}\]