forum.zadania.info

Zad.1.
Długość tworzącej stożka wynosi d, a promień podstawy jest równy R. Oblicz objętość kuli opisanej na tym stożku.

Zad.2.
Stożek o wysokości H wpisano w kulę. Oblicz objętość kuli, wiedząc, że jest ona cztery razy większa od objętości stożka.

1.
Promień kuli opisanej na danym stożku, to promień koła opisanego na trójkącie równoramiennym o podstawie 2R i ramionach d.
H- wysokość śtożka

\(H^2=d^2-R^2\\H=\sqrt{d^2-R^2}\)

x- promień kuli opisanej na danym stożku

Z pola trójkąta opisanego na początku:
\(P=\frac{1}{2}\cdot2R\cdot\sqrt{d^2-R^2}=\frac{d^2\cdot2R}{4x}\\\sqrt{d^2-R^2}=\frac{d^2}{2x}\\x=\frac{d^2}{2\sqrt{d^2-R^2}}\)

Objętość kuli:
\(V=\frac{4}{3}\pi x^3\\V=\frac{4}{3}\pi\cdot\frac{d^6}{8(d^2-R^2)\sqrt{d^2-R^2}}=\frac{\pi d^6}{6(d^2-R^2)\sqrt{d^2-R^2}}\)

2.
r- promień podstawy stożka
H- wysokość stożka (dana)
l- tworząca stożka
R- promień kuli

R to promień koła opisanego na trójkącie równoramiennym o podstawie 2r i ramionach długości l.

\(4\cdot\frac{1}{3}\pi r^2H=\frac{4}{3}\pi R^3\\R^3=r^2H\)

\(l^2=H^2+r^2\\l=\sqrt{H^2+r^2}\)

Z pola trójkąta równoramiennego:
\(P=\frac{1}{2}\cdot2r\cdot H=\frac{l^2\cdot2r}{4R}\\l^2=2H^2\)

\(H^2+r^2=2H^2\\r^2=H^2\\r=H\)

\(R^3=H^2\cdot H=H^3\)

Objętość kuli:
\(V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi H^3\)

w drugim zadaniu chyba trzeba rozpatrzeć więcej przypadków, gdyż odpowiedzią jest także

\(\frac{4}{3} \pi *( \sqrt{5} - 2)*H^3\)