forum.zadania.info

Dłuższa przekątna graniastusłupa prawidłowego sześciokątnego ma dł 8cm i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30stopni. Oblicz
a) tangens kąta nachylenia krótszej przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy
B) pole powierzchni całkowitej graniastosłupa
C) objętość graniastosłupa

a- długość krawędzi podstawy
H- długość krawędzi bocznej (wysokość graniastosłupa)
D=8 - dłuższa przekątna graniastosłupa
d=2a - dłuższa przekątna podstawy graniastosłupa
\(k=a\sqrt{3}\) - krótsza przekątna podstawy
K- krótsza przekątna graniastosłupa

a)
Trójkąt o przyprostokątnych H i d oraz przeciwprostokątnej D to trójkąt, w którym kąt przy d ma miarę \(30^0\)
Trójkąt o przyprostokątnych H i k oraz przeciwprostokątnej K to trójkąt, w którym trzeba obliczyć tangens kąta ostrego przy k.

\(\frac{H}{d}=tg30^0\\\frac{H}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{3}\\\frac{H}{a}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\)

\(tg\alpha=\frac{H}{k}=\frac{H}{a\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}=\frac{2}{3}\)

b)
W trójkącie o bokach H, d i D:
\(\frac{H}{D}=sin30^0\\\frac{H}{8}=\frac{1}{2}\\H=4cm\)

\(H^2+d^2=D^2\\4^2+(2a)^2=8^2\\16+4a^2=64\\4a^2=48\\a^2=12\\a=2\sqrt{3}cm\)

Pole podstawy:
\(P_p=6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=6\cdot\frac{12\sqrt{3}}{4}=18\sqrt{3}cm^2\)

Pole powierzchni bocznej:
\(P_b=6aH=6\cdot2\sqrt{3}\cdot4=48\sqrt{3}cm^2\)

Pole całkowitej powierzchni:
\(P_c=2\cdot18\sqrt{3}+48\sqrt{3}=84\sqrt{3}cm^2\)

c)
Objętość graniastosłupa:
\(V=P_p\cdot H=18\sqrt{3}\cdot4=72\sqrt{3}cm^3\)