zad. Napisz równanie ogólne stycznych do danego okręgu \(o\) i przechodzących przez punkt \(A\), jeśli:
a) \(o: x^{2} + y^{2} + 6x + 2y + 5 = 0\), \(A(-2. 2)\)
Odp.: 2x + y +2 = 0 lub x - 2y + 6 = 0
Prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu tego zadania z użyciem równania ogólnego prostej. Sam doszedłem do takiego momentu i nie wiem co dalej zrobić:
\(\frac{|-3A - B + 2A -2B|}{ \sqrt{A^{2} + B^{2}}} = \sqrt{5}\)
co po przekształceniu daje:
\(4A^{2} - 6AB - 4B^{2} = 0\)
Styczna do okręgu
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Moderator
- Posty: 107
- Rejestracja: 12 sie 2015, 18:11
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 80 razy
Zapiszmy po kolei, rownanie okregu:
\((x+3)^2+(y+1)^2+5-1-9=0\)
\((x+3)^2+(y+1)^2=5\)
\(S(-3,-1), \space r= \sqrt{5}\)
\(A(-2,2)\)
szukana prosta ma rownanie:
\(y=ax+b\) , wstawiamy wspolrzedne punktu \(A\)
\(y2=-2a+b\)
\(b=2+2a\), czyli:
\(y=ax+2+2a \iff ax-y+2+2a=0\)
Szukane proste beda styczne do okregu, jezeli odleglosc punktow stycznosci tych prostych bedzie rowna promieniowi, zetem ze wzoru, mamy:
\(\frac{|-3a+1+2a+2|}{ \sqrt{a^2+1} }= \sqrt{5}\)
\(|a-3|= \sqrt{5a^2+5}/^2\)(bo obie strony sa nieujemne)
\(a^2-6a+9=5a^2+5\)
\(2a^2+3a-2=0\)
\(2(a+2)(a- \frac{1}{2})=0\)(mozna tez policzyc z delty), zatem mamy
\(a=-2\) lub \(a= \frac{1}{2}\) i teraz podstawiamy do \(y=ax+2+2a\)
\(y=ax+2+2a=-2x+2-4=-2x-2 \iff 2x+y+2=0\)
lub
\(y=ax+2+2a= \frac{1}{2}x+2+1= \frac{1}{2}x+3 \iff x-2y+6=0\)
\((x+3)^2+(y+1)^2+5-1-9=0\)
\((x+3)^2+(y+1)^2=5\)
\(S(-3,-1), \space r= \sqrt{5}\)
\(A(-2,2)\)
szukana prosta ma rownanie:
\(y=ax+b\) , wstawiamy wspolrzedne punktu \(A\)
\(y2=-2a+b\)
\(b=2+2a\), czyli:
\(y=ax+2+2a \iff ax-y+2+2a=0\)
Szukane proste beda styczne do okregu, jezeli odleglosc punktow stycznosci tych prostych bedzie rowna promieniowi, zetem ze wzoru, mamy:
\(\frac{|-3a+1+2a+2|}{ \sqrt{a^2+1} }= \sqrt{5}\)
\(|a-3|= \sqrt{5a^2+5}/^2\)(bo obie strony sa nieujemne)
\(a^2-6a+9=5a^2+5\)
\(2a^2+3a-2=0\)
\(2(a+2)(a- \frac{1}{2})=0\)(mozna tez policzyc z delty), zatem mamy
\(a=-2\) lub \(a= \frac{1}{2}\) i teraz podstawiamy do \(y=ax+2+2a\)
\(y=ax+2+2a=-2x+2-4=-2x-2 \iff 2x+y+2=0\)
lub
\(y=ax+2+2a= \frac{1}{2}x+2+1= \frac{1}{2}x+3 \iff x-2y+6=0\)