Funkcje wymierne

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Ruz
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 4
Rejestracja: 14 paź 2015, 17:45
Płeć:

Funkcje wymierne

Post autor: Ruz »

Dla jakich wartości m równanie \(\frac{|x-1|}{x^2-1} = m\) ma dwa pierwiastki rzeczywiste ?
pytajnik++
Moderator
Moderator
Posty: 107
Rejestracja: 12 sie 2015, 18:11
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 80 razy

Post autor: pytajnik++ »

\(f(x)= \frac{|x-1|}{(x-1)(x+1)} , \space x \neq 1, \space x \neq -1\) ,teraz przypadki ze wzgledu na wartosc bezwzgledna:

\(f(x)= \begin{cases} -\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}= \frac{-1}{x+1}, \space x \in (- \infty ; -1) \cup (-1;1)\\ \frac{x-1}{(x+1)(x-1)}= \frac{1}{x+1}, \space x \in (1;+ \infty ) \end{cases}\)

Rysujemy obydwie funkcje nie przejmujac sie poki co ich dziedzinami.

Rysujemy pierwsza z tych funkcji czyli \(f(x)= \frac{-1}{x+1}\) bedzie ona wygladala tak(przesuwamy o jedna jednostke w lewo wykres \(\frac{1}{x}\) i odbijamy go symetrycznie wzgledem osi \(OX\)) :
1.png
1.png (9.51 KiB) Przejrzano 1819 razy
Jednak mamy ograniczenie, mianowicie \(x \in (- \infty ;-1) \cup (-1;1)\), ponadto \(x \neq 1\), wiec musi byc:
\(f(x) \neq -\frac{1}{2}\). Warunek \(x \neq -1\) zostal automatycznie spelniony ze wzgledu na wzor funkcji. Czyli zostawiamy wszystko co jest na lewo od \(x=-1\) i na lewo od \(x=1\) ,dla ktorego funkcja przyjmuje wartosc \(- \frac{1}{2}\).

Zajmijmy sie teraz druga funkcja ,czyli \(f(x)= \frac{1}{x+1}\), bedzie ona wygladala tak (przesuwamy o jedna jednostke w lewo wykres \(\frac{1}{x}\) i tyle):
2.png
2.png (9.43 KiB) Przejrzano 1813 razy
Tutaj rowniez mamy pewne ograniczenia, najwazniesze to \(x \in (1; + \infty )\), ale tez \(x \neq 1\) czyli \(f(x) \neq \frac{1}{2}\). Wiec tutaj zostawiamy wszystko to co jest na prawo od \(x=1\), dla ktorego funkcja przyjmuje wartosc \(\frac{1}{2}\).

Calosc po naszych operacjach powinna wygladac tak:
3.png
3.png (10.39 KiB) Przejrzano 1819 razy
Teraz bez trudu odczytujemy kiedy rownanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste(sa to punkty przeciecia z pozioma prosta \(y=m\)):
\(m \in(0; \frac{1}{2})\)
ODPOWIEDZ