związki miarowe w figurach płaskich

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
krysiaoz
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 164
Rejestracja: 18 lut 2011, 22:40
Podziękowania: 160 razy
Płeć:

związki miarowe w figurach płaskich

Post autor: krysiaoz »

na boku bc równobocznegotrójkąta abc wybrano taki punkt d, że stosunek pola adb do pola trójkąta adc wynosi 1:2. wyznacz tangens kąta dab.
pytajnik++
Moderator
Moderator
Posty: 107
Rejestracja: 12 sie 2015, 18:11
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 80 razy

Re: związki miarowe w figurach płaskich

Post autor: pytajnik++ »

1.png
1.png (242.61 KiB) Przejrzano 1608 razy
Przyjmijmy oznaczenia takie jak na rysunku.

Zauwazmy, ze odcinek \(AG\)(bedacy rzutem prostokatnym punktu \(A\) na odcinek \(BC\)) jest wysokoscia zarowna w trojkacie \(ADB\) jak i w trojkacie \(ADC\), mozemy wiec napisac,

\(\frac{P_{ADB}}{P_{ADC}}= \frac{ \frac{1}{2} \cdot |DB| \cdot h }{ \frac{1}{2} \cdot |CD| \cdot h }= \frac{1}{2}\)

\(|CD|=2|DB|\)

przyjmijmy wiec dla ulatwienia \(|DB|=x\), mamy wtedy \(|CD|=2x\).

Piszemy teraz twierdzenie sinusow dla trojkatow \(ADB\) oraz \(ADC\):
\(\frac{x}{ \sin \alpha } = \frac{d}{ \sin 60^o}\)

\(\frac{2x}{ \sin (60^o- \alpha )}= \frac{d}{ \sin 60^o}\)

mamy zatem:
\(\frac{x}{ \sin \alpha } = \frac{2x}{ \sin (60^o- \alpha )}\)
\(\frac{1}{ \sin \alpha }= \frac{2}{\sin (60^o- \alpha )}\)
\(\sin (60^o- \alpha )=2 \sin \alpha\)
\(\sin 60^o \cos \alpha - \sin \alpha \cos 60^o=2 \sin \alpha\)
\(\frac{ \sqrt{3} }{2} \cos \alpha - \frac{1}{2} \sin \alpha =2 \sin \alpha\)
\(\sqrt{3} \cos \alpha - \sin \alpha =4 \sin \alpha\)
\(5 \sin \alpha = \sqrt{3} \cos \alpha\)
\(\frac{ \sin \alpha} { \cos \alpha }= \tg \alpha = \frac{ \sqrt{3} }{5}\)
ODPOWIEDZ