związki miarowe w figurach płaskich
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
związki miarowe w figurach płaskich
na boku bc równobocznegotrójkąta abc wybrano taki punkt d, że stosunek pola adb do pola trójkąta adc wynosi 1:2. wyznacz tangens kąta dab.
-
- Moderator
- Posty: 107
- Rejestracja: 12 sie 2015, 18:11
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 80 razy
Re: związki miarowe w figurach płaskich
Zauwazmy, ze odcinek \(AG\)(bedacy rzutem prostokatnym punktu \(A\) na odcinek \(BC\)) jest wysokoscia zarowna w trojkacie \(ADB\) jak i w trojkacie \(ADC\), mozemy wiec napisac,
\(\frac{P_{ADB}}{P_{ADC}}= \frac{ \frac{1}{2} \cdot |DB| \cdot h }{ \frac{1}{2} \cdot |CD| \cdot h }= \frac{1}{2}\)
\(|CD|=2|DB|\)
przyjmijmy wiec dla ulatwienia \(|DB|=x\), mamy wtedy \(|CD|=2x\).
Piszemy teraz twierdzenie sinusow dla trojkatow \(ADB\) oraz \(ADC\):
\(\frac{x}{ \sin \alpha } = \frac{d}{ \sin 60^o}\)
\(\frac{2x}{ \sin (60^o- \alpha )}= \frac{d}{ \sin 60^o}\)
mamy zatem:
\(\frac{x}{ \sin \alpha } = \frac{2x}{ \sin (60^o- \alpha )}\)
\(\frac{1}{ \sin \alpha }= \frac{2}{\sin (60^o- \alpha )}\)
\(\sin (60^o- \alpha )=2 \sin \alpha\)
\(\sin 60^o \cos \alpha - \sin \alpha \cos 60^o=2 \sin \alpha\)
\(\frac{ \sqrt{3} }{2} \cos \alpha - \frac{1}{2} \sin \alpha =2 \sin \alpha\)
\(\sqrt{3} \cos \alpha - \sin \alpha =4 \sin \alpha\)
\(5 \sin \alpha = \sqrt{3} \cos \alpha\)
\(\frac{ \sin \alpha} { \cos \alpha }= \tg \alpha = \frac{ \sqrt{3} }{5}\)