forum.zadania.info

W prawidłowym ostrosłupie trójkątnym płaszczyzna zawierająca jedną z krawędzi podstawy i
prostopadła do przeciwległej krawędzi bocznej, dzieli ostrosłup na dwa wielościany, których objętości są do siebie w stosunku 2:3. Wyznacz cosinus kąta płaskiego przy wierzchołku ostrosłupa.


Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania

z podanych warunków wynika, z krawędź boczna jest dzielona przez płaszczyznę przekroju w stosunku 3:2.
Z podobieństwa trójkątów ATS i APB mamy więc \(\frac{2}{a}= \frac{ \frac{a}{2} }{5}\)
stąd \(a=2 \sqrt{5}\)
No to \(\sin \frac{ \alpha }{2}= \frac{ \sqrt{5} }{5}\)
czyli (wobec "ostrości" kąta \(\frac{ \alpha }{2}\)) \(\cos \frac{ \alpha }{2}= \frac{2}{ \sqrt{5} }\)
i mamy \(\cos \alpha = \frac{4}{5}- \frac{1}{5}= \frac{3}{5}\)

Uwaga
Trzeba jeszcze rozpatrzyć drugi przypadek.
Taki: dasz radę sam ?

Tylko nie wiem czemu dzieli krawędź boczną w stosunku 2:3, jeśli to jest stosunek objętości, to czemu to się tak przekłada na krawędź boczną. Nie powinno być pierwiastków sześciennych ?

Nie:
\(V_1= \frac{1}{3}P_{ \Delta PBC} \cdot |AP|\)
\(V_2= \frac{1}{3}P_{ \Delta PBC} \cdot |PS|\)
\(\frac{3}{2}= \frac{V_1}{V_2}= \frac{\frac{1}{3}P_{ \Delta PBC} \cdot |AP|}{\frac{1}{3}P_{ \Delta PBC} \cdot |PS|} \So \frac{|AP|}{|PS|}= \frac{3}{2}\)

Dzięki bardzo za pomoc i wytłumaczenie