forum.zadania.info

Wiadomo, że iloczyn 2 kolejnych liczb naturalnych dzieli się przez 2, trzech - przez 6, czterech przez 24, pięć przez 120 i można tak w nieskończoność.
Dość łatwo udowodnić za pomocą matematyki elementarnej pierwszą z własności, biorąc liczbę parzystą \(2n\) i kolejną po niej nieparzystą \(2n+1\).
Ale czy da się (bez indukcji i kongurencji) udowodnić pozostałe własności? W szkole często wykorzystuje się podzielność przez 6 trzech kolejnych liczb naturalnych. Może choć to uda się komuś udowodnić "algebraicznie"?

Przecież to jest oczywiste:
wystarczy zauważyć, że
co trzecia liczba dzieli się przez 3
co druga liczba dzieli się przez 2.
Zatem wśród kolejnych trzech jest taka, która dzieli się przez 3 i taka, która dzieli się przez 2. No to ich iloczyn dzieli się przez 6. (pozostałe analogicznie)

O to chodziło ?

Dla mnie jest oczywiste, ale dla uczniów już niekoniecznie... że wśród 3 kolejnych jest jedna podzielna przez 3. Dlatego szukam dowodu algebraicznego. Może by coś pokombinować z \(3n,3n+1,3n+2\)?

Wystarczy chyba wyjaśnić,że liczba podzielna przez 3 jest wielokrotnością liczby 3,
podobnie wielokrotność liczby 4,to co czwarta,
wielokrotności liczby 5,to co piąta...
Wypisać liczby 1,2,3,......,99,100...
i wykreślać wielokrotności ...
Da się zauważyć wiele ciekawostek...
Kolorowe ołówki (dla każdej z liczb 2,3,5,6,7..inne) one będą wchodzić niekiedy na te same liczby...i co to oznacza...
Widzę to w kolorach