Liczba rozwiązań w zależności od m.

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 24 lut 2010, 19:10

Określ liczbę rozwiązań równania
\(m(4^{x}-2^{x})=1-m\)
w zależności od parametru \(m \in \mathbb{R}\).

BetrR65 · Post autor: **BetrR65** » 24 lut 2010, 20:30

Równanie po przekształceniach ma postać:
\(m*(2^x)^2-m*2^x+m-1=0\)
Po podstawieniu zmiennej pomocniczej
\(t=2^x\)
mamy równianie kwadratowe
\(m*t^2-m*t+m-1=0\)
Ponieważ wykorzystana przy podstawieniu funkcja wykładnicza jest różnowartościowa, więc jeśli rówanie
\(t=2^x\)
będzie miało następującą liczbę rozwiązań
\(\begin{cases}
1 \Leftrightarrow t>0\\
0 \Leftrightarrow t \le 0
\end{cases}\)

Czyli
1.jeśli rówanie kwadratowe nie bedzie miało żadnych pierwiastków lub będzie miało dwa pierwiastki niedodatnie, rówanie wyjściowe nie będzie miało żadnych pierwiastków tzn. jeżeli będą spełnioe warunki
\(\begin{cases}
A \neq 0\\
\Delta <0
\end{cases}\)
lub
\(\begin{cases}
A \neq 0\\
\Delta \ge 0\\
x_1*x_2 \ge 0\\
x_1+x_2 \le 0
\end{cases}\)

2. Jeśli rówanie kwadratowe będzie miało dwa pierwiastki różnych znaków, równanie wyjściowe będzie miało jeden pierwiastek
\(\begin{cases}
A \neq 0\\
\Delta >0\\
x_1*x_2>0\\
x_1+x_2>0
\end{cases}\)

3. Jeśli równanie kwadratowe bedzie miało dwa pierwiastki dodatnie, równanie wyjściowe będzie miało 2 rozwiązania, czyli gdy
\(\begin{cases}
A \neq 0\\
\Delta <0\\
x_1*x_2>0\\
x_1+x_2>0
\end{cases}\)

Mam nadzieję, że dalej już bez problemów...

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 24 lut 2010, 20:34

No tak, dzięki, zabrakło jeszcze tego, co dzieje się gdy równanie jest stopnia pierwszego.

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 24 lut 2010, 20:36

<edit>
2. pierwiastki różnych znaków:
\(x_{1}x_{2}<0\)

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 24 lut 2010, 20:38

no i w trzecim - \(\Delta>0\)

BetrR65 · Post autor: **BetrR65** » 24 lut 2010, 20:42

tometomek91 pisze:No tak, dzięki, zabrakło jeszcze tego, co dzieje się gdy równanie jest stopnia pierwszego.

Właśnie miałam dopisać....

Jeśli równanie jest liniowe, tzn.
\(\begin{cases}
A=0
\end{cases}\)
mamy następujące rówanie liniowe
\(m*t+m-1=0\)
które
A. ma 1 rozwiązanie, a więc rówanie pierwotne ma 1 rozwiązanie gdy
\(B \neq 0\)
B. nie będzie miało rozwiązań, tzn. równanie wyjściowe będzie miało 0 rozwiązań gdy
\(B=0\) oraz \(C \neq 0\)
C. Bedzie miało nieskończenie wiele rozwiązań, gdy
\(B=0\) oraz \(C=0\)

BetrR65 · Post autor: **BetrR65** » 24 lut 2010, 20:45

tometomek91 pisze:no i w trzecim - \(\Delta>0\)

... w tej chwili największy problem przysparza mi ... edytor LaTeX. Jak wpisuję, to tego nie widzę, a jak wyślę, to dopiero widzę.
Ale ponoć praktyka czyni mistrza.

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 24 lut 2010, 20:46

Moim zdaniem, gdy jest liniowe otrzymujemy sprzeczność, tzn brak rozwiązań

anka · Post autor: **anka** » 24 lut 2010, 20:48

BetrR65 pisze: ... w tej chwili największy problem przysparza mi ... edytor LaTeX. Jak wpisuję, to tego nie widzę, a jak wyślę, to dopiero widzę.
Ale ponoć praktyka czyni mistrza.

Użyj opcji "odpowiedz" , a potem 'podgląd", wtedy wszystko widać.