zad. 3 /B
wyznacz dziedzinę i zbiór wartości funkcji \(f(x)=x_1^4+x_2^4\), gdzie \(x_1\) i \(x_2\) to różne pierwiastki równania \(x^2+x+k=0\)
wyznacz dziedzinę i zbiór wartości funkcji
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
alibaba8000
- Stały bywalec
- Posty: 563
- Rejestracja: 15 paź 2015, 15:46
- Podziękowania: 360 razy
- Płeć:
-
domino21
- Expert
- Posty: 3725
- Rejestracja: 27 mar 2009, 16:56
- Lokalizacja: Skierniewice
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 1298 razy
- Płeć:
- Kontakt:
kiedy funkcja ma dwa różne pierwiastki?
\(\begin{cases}\Delta>0\\ a\neq 0 \end{cases} \\
\Delta=1-4k>0 \ \So \ k<\frac{1}{4}\)
\(x_1^4 + x_2^4 = x_1^4+2x_1^2x_2^2 + x_2^4 -2x_1^2 x_2^2=(x_1^2+x_2^2)^2-2x_1^2x_2^2=(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2)^2-2x_1^2x_2^2=\\
=\left[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\right]^2-2\cdot (x_1x_2)^2\)
korzystając teraz ze wzorów Viete'a, dostajemy:
\(x_1^4+x_2^4=\left[\left(-\frac{b}{a}\right)^2-2\cdot \frac{c}{a}\right]^2-2\cdot \left(\frac{c}{a}\right)^2=\left[\frac{b^2-2ac}{a^2}\right]^2-2\frac{c^2}{a^2}\)
w tym przypadku:
\(x_1^4+x_2^4 = \left(\frac{1-2k}{1}\right)^2 -2k^2=(1-2k)^2-2k^2=2k^2-4k+1\)
pamiętając o założeniu, że \(k<\frac{1}{4}\)
\(\begin{cases}\Delta>0\\ a\neq 0 \end{cases} \\
\Delta=1-4k>0 \ \So \ k<\frac{1}{4}\)
\(x_1^4 + x_2^4 = x_1^4+2x_1^2x_2^2 + x_2^4 -2x_1^2 x_2^2=(x_1^2+x_2^2)^2-2x_1^2x_2^2=(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2)^2-2x_1^2x_2^2=\\
=\left[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\right]^2-2\cdot (x_1x_2)^2\)
korzystając teraz ze wzorów Viete'a, dostajemy:
\(x_1^4+x_2^4=\left[\left(-\frac{b}{a}\right)^2-2\cdot \frac{c}{a}\right]^2-2\cdot \left(\frac{c}{a}\right)^2=\left[\frac{b^2-2ac}{a^2}\right]^2-2\frac{c^2}{a^2}\)
w tym przypadku:
\(x_1^4+x_2^4 = \left(\frac{1-2k}{1}\right)^2 -2k^2=(1-2k)^2-2k^2=2k^2-4k+1\)
pamiętając o założeniu, że \(k<\frac{1}{4}\)