Granica z logarytmem

[pytający231]

Oblicz:\(\Lim_{n\to+ \infty }\) n(log(n+3)-logn)

[radagast]

\(\Lim_{n\to+ \infty }n(\log (n+3)-\log n)= \Lim_{n\to+ \infty }n\log \frac{n+3}{n}=\Lim_{n\to+ \infty } \log \left(\frac{n+3}{n} \right)^n =\\ \Lim_{n\to+ \infty } \log \left(1+\frac{3}{n} \right)^n =\log e^3=3\log e\)

[panb]

\(n( \log (n+3)-\log n)=n\log \frac{n+3}{n} =\log \left( \frac{n+3}{n} \right)^n\)
\(\Lim_{n\to \infty } \left( \frac{n+3}{n} \right)^n= \Lim_{n\to \infty } \left( 1+ \frac{3}{n} \right)^n=e^3\)
Wobec tego
\(\Lim_{n\to \infty }n( \log (n+3)-\log n)=\log \left(\Lim_{n\to \infty } \left( 1+ \frac{3}{n} \right)^n\right)=\log e^3=3\log e\)

Jeśli ten logarytm był naturalny (a pewnie tak było), to granica jest równa \(3\ln e=3\).