indukcja matematyczna

[karolakkkk]

Udowodnić:

\(1^3+2^3+3^3...+n^3=(1+2+...+n)^2\)

[radagast]

dla \(n=1\)
\(L=1\),\(P=1\) , \(L=P\) OK
zał ind: istnieje \(n\) takie że \(1^3+2^3+3^3...+n^3=(1+2+...+n)^2\)
teza: \(1^3+2^3+3^3...+n^3+(n+1)^3=(1+2+...+n+n+1)^2\)
DOWÓD
\(L=1^3+2^3+3^3...+n^3+(n+1)^3=\\
(1+2+...+n)^2+(n+1)^3=\\
(1+2+...+n)^2+(n+1)^2-(n+1)^2+(n+1)^3=\\
(1+2+...+n+n+1)^2-2(1+2+...+n)(n+1)-(n+1)^2+(n+1)^3=\\
(1+2+...+n+n+1)^2-2 \frac{(1+n)n}{2} (n+1)+(n+1)^2(n+1-1)=\\
(1+2+...+n+n+1)^2=P\)
c.b.d.o.

[dueler]

\((1+2+...+n)^2+(n+1)^2-(n+1)^2+(n+1)^3=\)
\((1+2+...+n+n+1)^2-2(1+2+...+n)(n+1)-(n+1)^2+(n+1)^3\)

skad to?

[radagast]

Ze w zorów skróconego mnozenia:
\((1+2+...+n+n+1)^2=(1+2+...+n)^2+2(1+2+...+n)(n+1)+(n+1)^2\) no to
\((1+2+...+n)^2=(1+2+...+n+n+1)^2-2(1+2+...+n)(n+1)-(n+1)^2\)