Moje zadanie (1)
: 26 wrz 2015, 03:52
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej \(m\) i \(n\) liczba \(mn(m^{3}+n^{3})(m^{3}-n^{3})\) jest podzielna przez 42.
Strona 1 z 1
: 26 wrz 2015, 11:38
Naprawdę takie trudne?
: 26 wrz 2015, 22:13
No to mała podpowiedź:
\(mn(m^{3}+n^{3})(m^{3}-n^{3})=mn(m^{6}-n^{6})=m^{7}n-mn^{7}\).
A teraz pospolity trik:
=\(m^{7}n-mn-mn^{7}+mn=n(m^{7}-m)-m(n^{7}-n)\).
Może teraz?
\(mn(m^{3}+n^{3})(m^{3}-n^{3})=mn(m^{6}-n^{6})=m^{7}n-mn^{7}\).
A teraz pospolity trik:
=\(m^{7}n-mn-mn^{7}+mn=n(m^{7}-m)-m(n^{7}-n)\).
Może teraz?
Re: Moje zadanie (1)
: 26 wrz 2015, 23:43
Sprobujmy zapisac uzywajach "pospolitych" wzorow skroconego mnozenia:
\(mn(m^{3}+n^{3})(m^{3}-n^{3})=\)
\(=mn(m^6-n^6)=m^7n-mn^7=m^7n-mn-mn^7+mn=n(m^7-m)-m(n^7-n)=\)
\(=nm(m^6-1)-mn(n^6-1)=mn((m^2)^3-1^3)-mn((n^2)^3-1^3))=\)
\(=mn(m^2-1)(m^4+m^2+1)-mn(n^2-1)(n^4+n^2+1)=\)
\(=mn(m-1)(m+1)[(m^4-13m^2+36)+14m^2-35]-mn(n-1)(n+1)[(n^4-13n^2+36)-14n^2-35]=\)
\(=mn(m-1)(m+1)[(m^2-4)(m^2-9)+7(m^2-5)]-mn(n-1)(n+1)[(n^2-4)(n^2-9)+7(n^2-5)]=\)
\(=\tiny{[(m-3)(m-2)(m-1)m(m+1)(m+2)(m+3)n+7(m-1)m(m+1)n(m^2-5)]-[(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)m +7(n-1)n(n+1)m(n^2-5)]}\)
Komentarz do ostatniej linijki(przepraszam za rozmiar ale inaczej nie dalo sie zapisac bo nie miescilo sie w jednej linijce, a jak nie widac to mozna powiekszyc ekran):
Pierwsze skladniki sum w obydwu nawiasach kwadratowych to iloczyny siedmiu kolejnych liczb naturalnych,sa więc one podzielne przez
\(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7=5040=42 \cdot 120\) wiec wiadomo ze w szczegolnosci 42 dzieli ten iloczyn. Drugie składniki sum zawieraja w sobie siedmiokrotny iloczyn trzech liczb naturalnych, sa więc one podzielne przez: \(7 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3=42\).Skoro obydwa składniki sum sa podzielne przez 42, tak wiec cale wyrazenie tez jest podzielne przez 42, bo cale wyrazenie mozemy wtedy zapisac \(42[a+b]-42[c+d]=42([a+b]-[c+d])\) dla pewnych liczb naturalnych.
**Innym sposobem na udowodnienie jest zastosowanie indukcji matematycznej, chociaz zapis jest rownie skomplikowany i dluzszy.
\(mn(m^{3}+n^{3})(m^{3}-n^{3})=\)
\(=mn(m^6-n^6)=m^7n-mn^7=m^7n-mn-mn^7+mn=n(m^7-m)-m(n^7-n)=\)
\(=nm(m^6-1)-mn(n^6-1)=mn((m^2)^3-1^3)-mn((n^2)^3-1^3))=\)
\(=mn(m^2-1)(m^4+m^2+1)-mn(n^2-1)(n^4+n^2+1)=\)
\(=mn(m-1)(m+1)[(m^4-13m^2+36)+14m^2-35]-mn(n-1)(n+1)[(n^4-13n^2+36)-14n^2-35]=\)
\(=mn(m-1)(m+1)[(m^2-4)(m^2-9)+7(m^2-5)]-mn(n-1)(n+1)[(n^2-4)(n^2-9)+7(n^2-5)]=\)
\(=\tiny{[(m-3)(m-2)(m-1)m(m+1)(m+2)(m+3)n+7(m-1)m(m+1)n(m^2-5)]-[(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)m +7(n-1)n(n+1)m(n^2-5)]}\)
Komentarz do ostatniej linijki(przepraszam za rozmiar ale inaczej nie dalo sie zapisac bo nie miescilo sie w jednej linijce, a jak nie widac to mozna powiekszyc ekran):
Pierwsze skladniki sum w obydwu nawiasach kwadratowych to iloczyny siedmiu kolejnych liczb naturalnych,sa więc one podzielne przez
\(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7=5040=42 \cdot 120\) wiec wiadomo ze w szczegolnosci 42 dzieli ten iloczyn. Drugie składniki sum zawieraja w sobie siedmiokrotny iloczyn trzech liczb naturalnych, sa więc one podzielne przez: \(7 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3=42\).Skoro obydwa składniki sum sa podzielne przez 42, tak wiec cale wyrazenie tez jest podzielne przez 42, bo cale wyrazenie mozemy wtedy zapisac \(42[a+b]-42[c+d]=42([a+b]-[c+d])\) dla pewnych liczb naturalnych.
**Innym sposobem na udowodnienie jest zastosowanie indukcji matematycznej, chociaz zapis jest rownie skomplikowany i dluzszy.
: 27 wrz 2015, 07:35
Brawo "PYTAJNIK"! To chyba najtrudniejsze zadanie z podzielności, jakie wymyśliłem. Dla chętnych mam podobne - tym razem nieco łatwiejsze, którym się inspirowałem:
Wykazać, że dla dowolnej liczby naturalnej \(m\) i \(n\) liczba \(mn(m^{2}-n^{2})(m^{2}+n^{2})\) dzieli się przez 30.
Wykazać, że dla dowolnej liczby naturalnej \(m\) i \(n\) liczba \(mn(m^{2}-n^{2})(m^{2}+n^{2})\) dzieli się przez 30.
: 27 wrz 2015, 10:59
bedzie podobnie:
\(mn(m^2-n^2)(m^2+n^2)=\)
\(=mn(m^4-n^4)=\)
\(=mn[m^4-1-(n^4-1)]=\)
\(=mn(m^4-1)-mn(n^4-1)=\)
\(=mn(m^2-1)(m^2+1)-mn(n^2-1)(n^2+1)=\)
\(=mn(m-1)(m+1)(m^2-4+5)-mn(n-1)(n+1)(n^2-4+5)=\)
\(=mn(m-1)(m+1)[(m-2)(m+2)+5]-mn(n-1)(n+1)[(n-2)(n+2)+5]=\)
\(=\small{[(m-2)(m-1)m(m+1)(m+2)n+5(m-1)m(m+1)n]-[(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)m+5(n-1)n(n+1)m]}\)
Komentarz do ostatniej linijki:
Pierwsze skladniki sum w obydwu nawiasach kwadratowych to iloczyny pięciu kolejnych liczb naturalnych,sa więc one podzielne przez: \(5!=120=30 \cdot 4\), wiec wiadomo ze 30 w szczegolnosci dzieli te iloczyny. Drugie składniki sum zawieraja w sobie pieciokrotny iloczyn trzech liczb naturalnych, sa wiec one podzielne przez: \(5 \cdot 3!=30\). Skoro obydwa składniki sum sa podzielne przez 30, to cale wyrazenie tez jest podzielne przez 30, bo cale wyrazenie mozemy wtedy zapisac:
\(30[a+b]-30[c+d]=30([a+b]-[c+d])\) dla pewnych liczb naturalnych.
\(mn(m^2-n^2)(m^2+n^2)=\)
\(=mn(m^4-n^4)=\)
\(=mn[m^4-1-(n^4-1)]=\)
\(=mn(m^4-1)-mn(n^4-1)=\)
\(=mn(m^2-1)(m^2+1)-mn(n^2-1)(n^2+1)=\)
\(=mn(m-1)(m+1)(m^2-4+5)-mn(n-1)(n+1)(n^2-4+5)=\)
\(=mn(m-1)(m+1)[(m-2)(m+2)+5]-mn(n-1)(n+1)[(n-2)(n+2)+5]=\)
\(=\small{[(m-2)(m-1)m(m+1)(m+2)n+5(m-1)m(m+1)n]-[(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)m+5(n-1)n(n+1)m]}\)
Komentarz do ostatniej linijki:
Pierwsze skladniki sum w obydwu nawiasach kwadratowych to iloczyny pięciu kolejnych liczb naturalnych,sa więc one podzielne przez: \(5!=120=30 \cdot 4\), wiec wiadomo ze 30 w szczegolnosci dzieli te iloczyny. Drugie składniki sum zawieraja w sobie pieciokrotny iloczyn trzech liczb naturalnych, sa wiec one podzielne przez: \(5 \cdot 3!=30\). Skoro obydwa składniki sum sa podzielne przez 30, to cale wyrazenie tez jest podzielne przez 30, bo cale wyrazenie mozemy wtedy zapisac:
\(30[a+b]-30[c+d]=30([a+b]-[c+d])\) dla pewnych liczb naturalnych.
: 27 wrz 2015, 13:25
No to mamy 2 ładne zadanka, które stają się klasykami matematyki powszechnej 