Pytanie o tresc

[pytajnik++]

Czy majac dana taka tresc typu:

Dla jakich \(x\) liczby \(\log2, \log(2^x-2), \log (2^x+10)\) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego? Oblicz różnicę tego ciągu.

Trzeba wyznaczac dziedzine dla liczb z logarytmami? Pytam poniewaz mam pelne rozwiazanie tego zadania, a tam nie ma zadnych zalozen o \(x\).

[patryk00714]

tak, należy wyznaczyc dziedzinę.

[Galen]

\(2^x-2>0\;\;\;\;i\;\;\;2^x+10>0\\2^x>2\\x>1\)
\(D=(1;+\infty)\)
\(log(2^x-2)-log2=log(2^x+10)-log(2^x-2)\\2log(2^x-2)=log(2^x+10)+log2\)
\(log(2^x-2)^2=log2(2^x+10)\\(2^x-2)^2=2(2^x+10)\;\;\;\;\;i\;\;\;\;x>1\\2^x=t\;\;\;\;\;i\;\;\;\;t>2\)
\((t-2)^2=2(t-10)\;\;\;\;\;i\;\;\;\;t>2\\t_1=-2\;\;\;odrzucasz\\t_2=8\\czyli\\2^x=8\\2^x=2^3\\x=3\)

[pytajnik++]

A czy tak zapisane polecenie:

Dla jakich \(x \in \rr\) liczby \(\log_3(2^x+1), log_3(2^{x-1}-1), log_3 1\) tworzą, w podanej kolejności, ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę tego ciągu.

jest w porządku?

Bo tutaj mamy z gory zalozenie ze \(x \in \rr\), ktore nie jest zawsze prawdziwe, bo np. dla \(x=0\):
\(log_3(2^{x-1}-1)=log_3(- \frac{1}{2})\), co jest sprzeczne.

Czy w tym przypadku nalezy ustalic dziedzine dodatkowo?

[Galen]

Ustal dziedzinę:
\(2^{x-1}-1>0\\2^{x-1}>1\;\;\;\;i\;\;\;1=2^0\\x-1>0\\x>1`\\D=(1;+\infty)\)
Wyrazy ciągu spełniają warunek:
\(2log_3(2^{x-1}-1)=0+log_3(2^x+1)\;\;\;\;\;\;\;\;bo\;\;\;\;\;log_31=0\)
\(log_3(2^{x-1}-1)^2=log_3(2^x+1)\\
2^x=t\;\;\;\;\;i\;\;\;x>1\;\;\;\;\;zatem\;\;\;\;t>2\\( \frac{1}{2}t-1)^2=t+1\\ \frac{1}{4}t^2-t+1=t+1\\t^2-8t=0\\t(t-8)=0\;\;\;i\;\;\;t>2\\t=8\\czyli\\2^x=8\\x=3\)
Wyrazy ciągu:
\(a_1=log_3(2^3+1)=log_39=2\\a_2=log_32^2-1=log_33=1\\a_3=log_31=0\)
Różnica:
\(r=-1\)
Inaczej
\(r=log_3 \frac{1}{3}=-1\)