Wykaż, że... Nierówność trygonometryczna

[patryk97]

Wykaż, że dla każdej liczby \(x\) zachodzi nierówność \(\sin ^8x+ \cos ^8x \ge \frac{1}{8}\).

[eresh]

skorzystam z zależności między średnią kwadratową a arytmetyczną:
\(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\geq\frac{a+b}{2}\\
\frac{a^2+b^2}{2}\geq\frac{(a+b)^2}{4}\\
a^2+b^2\geq \frac{(a+b)^2}{2}\\\)
\(\sin^8x+\cos^8x=(\sin^4x)^2+(\cos^4x)^2\geq\frac{(\sin^4x+\cos^4x)^2}{2}\geq\\ \geq\frac{ \left( \frac{(\sin^2x+\cos^2x)^2}{2}\right) ^2}{2}=\frac{0,25}{2}=\frac{1}{8}\)

[eresh]

Można też tak:
znajdziemy wartość najmniejszą funkcji
\(f(x)=\sin^8x+\cos^8x\\
f(x)=(\sin^4x+\cos^4x)^2-2\sin^4x\cos^4x\\
f(x)=((\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x)^2-2\sin^4x\cos^4x\\
f(x)=(1-2(\frac{1}{2}\cdot 2\sin x\cos x)^2)^2-2(\frac{1}{2}\cdot 2\sin x\cos x)^4\\
f(x)=(1-\frac{1}{2}\sin^22x)^2-\frac{1}{8}\sin^42x\\
f(x)=1-\sin^22x+\frac{1}{4}\sin^42x-\frac{1}{8}\sin^42x\\
f(x)=\frac{1}{8}\sin^42x-\sin^22x+1\\
\sin^22x=t\\
t\in [0,1]\\
g(t)=\frac{1}{8}t^2-t+1\\
p=4\notin [0,1]\\
g(0)=1\\
g(1)=\frac{1}{8}\\
ZW_f=[\frac{1}{8},1]\\
f(x)\geq \frac{1}{8}\)

[Maciek32]

\(... \ge \frac{ \left( \frac{(\sin^2x+\cos^2x)^2}{2}\right) ^2}{2}=...\)

A to wynika z czego? To jest potraktowana znowu jako \(\frac{(a+b)^2}{2}\)?

[eresh]

A to wynika z czego? To jest potraktowana znowu jako \(a^2+b^2\)?

tak

[Maciek32]

A dlaczego w liczniku wyrażenie jest podniesione do kwadratu? W obliczeniach mi tak nie wychodzi.

[eresh]

A dlaczego w liczniku wyrażenie jest podniesione do kwadratu? W obliczeniach mi tak nie wychodzi.

to wynika z zależności między średnimi

\(a^2+b^2\geq\frac{(a+b)^2}{2}\)

[Maciek32]

Wiem, ale jak do tego dojść skoro, \(a^2+b^2=\frac{(\sin^4x+\cos^4x)^2}{2}\) chyba potrzeba teraz wiedzieć ile wynosi suma \(a+b\)?

[eresh]

Wiem, ale jak do tego dojść skoro, \(a^2+b^2=\frac{(\sin^4x+\cos^4x)^2}{2}\) chyba potrzeba teraz wiedzieć ile wynosi suma \(a+b\)?

ja tak nie napisałam



z zależność między średnimi:
\((a^4)^2+(b^4)^2\geq \frac{(a^4+b^4)^2}{2}\)
\(a^4+b^4\geq\frac{(a^2+b^2)^2}{2}\)
wracając do pierwszej nierówności:
\((a^4)^2+(b^4)^2\geq \frac{(a^4+b^4)^2}{2}\geq\frac{(\frac{(a^2+b^2)^2}{2})^2}{2}\)
postaw \(a=\sin x, b=\cos x\)