1 ) Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji f w przedziale A, gdy :
a) f(x)= 2x kwadrat - 4x+3 i A= <1/2 ; 2>
b) f(x)= -x kwadrat +3x-1 i A= <-1;1>
c) f(x)= x kwadrat + 2 i A= <-2;3>
2)Funkcja f okreslona jest wzorem f(x)= 2x kwadrat -7x+m. Oblicz, dla jakiej wartości m:
a) funkcja f ma dwa miejsca zerowe
b) jednym z miejsc zerowych funkcji jest liczba 1. Oblicz drugie miejsce zerowe.
3) Wyznacz wzór funkcji liniowej postaci y=ax+b, której wykres przecina wykres funkcji kwadratowej określonej wzorem
y= 1/2x kwadrat -2 w punktach A= (4, Ya) i B= (-2, Yb). Sporządź rysunek ;/
4) Oblicz największą wartość funkcji określonej wzorem f(x) = 3 / x kwadrat -2x+5.
5) Oblicz najmniejszą wartość funkcji określonej wzorem f(x)= 5 / -x kwadrat+4x-3.
6) Liczbę 30 rozłóż na takie dwa składniki, aby suma ich kwadratów była najmniejsza.
7) Ciało wyrzucone pionowo w górę osiąga po t sekundach wysokość (wyrażoną w metrach) równą wartościom funkcji h określonej wzorem h(t)= -4t kwadrat + 40t.
a) ile czasu upłynęło od chwili wyrzucenia ciała w górę do chwili jego upadku na ziemię ?
b) po jakim czasie ciało osiągnęło maksymalną wysokość ? podaj wartość tej wysokości.
8 ) Funkcja popytu p i podaży q są określone wzorami :
p(x)= 80-3x- 1/50 x kwadrat q(x)= 50- 1/50x kwadrat, gdy x oznacza cenę towaru i x należy (0;50).
Oblicz cenę równowagi, tzn cenę dla której p(x)=q(x)
9) Wartościami funkcji f określonej wzorem f(n)= n kwadrat -n +41, gdzie n należy {1,2,3,...,40}, są liczby pierwsze.
a) oblicz najmniejszą i największą liczbę pierwszą, którą można wyznaczyć za pomocą tego wzoru.
b) sprawdź, czy liczba 547 jest wartością tej funkcji.
10) Motocykl, jadąc z średnią szybkością 40 km/h, przebywa pewną drogę w czasie 2,5 h. Z jaką szybkością powinien jechać motocykl, aby przebyć tę drogę w czasie 1 godziny i 40 minut ?
11) Wartość sprzedaży P pewnego produktu zależy od upływu t dni od wprowadzenia do na rynek i określona jest wzorem P(t) = 400/ t+1 -8, gdzie t należy to naturalnych dodatnich.
a) oblicz, ile produktów sprzedano w dniu wprowadzenia go na rynek.
b) którego dnia po wprowadzeniu na rynek produkt przestał się sprzedawać ?
12) Do wykresu funkcji wykładniczej okreslonej wzorem y= a ( u góry x), należy punkt P. Oblicz a, gdy :
a) P= (1,6)
b) P= (3, 8/125)
z góry dziękuję za pomoc !!!!!!!!!
funkcje, zadania różne.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
1.
a)
\(f(x)=2x^2-4x+3\\A=<\frac{1}{2};\ 2>\\x_w=\frac{4}{4}=1 \in A\\f(1)=2\cdot1^2-4\cdot1+3=2-4+3=1\\f(\frac{1}{2})=2\cdot(\frac{1}{2})^2-4\cdot\frac{1}{2}+3=\frac{1}{2}-2+3=\frac{3}{2}\\f(2)=2\cdot2^2-4\cdot2+3=8-8+3=3\)
W tym przedziale najmniejsza wartość funkcji jest równa 1, a największa 3.
b)
\(f(x)=-x^2+3x-1\\A=<-1;\ 1>\\x_w=\frac{-3}{-2}=\frac{3}{2} \notin A\\f(-1)=-(-1)^2+3\cdot(-1)-1=-1-1-1=-5\\f(1)=-1^2+3\cdot1-1=-1+3-1=1\)
W tym przedziale najmniejsza wartość funkcji jest równa -5, a największa wynosi 1.
c)
\(f(x)=x^2+2\\A=<-2;\ 3>\\x_w=\frac{0}{2}=0 \in A\\f(0)=0^2+2=2\\f(-2)=(-2)^2+2=4+2=6\\f(3)=3^2+2=9+2=11\)
W tym przedziale najmniejsza wartość funkcji jest równa 2, a największa jest równa 11.
a)
\(f(x)=2x^2-4x+3\\A=<\frac{1}{2};\ 2>\\x_w=\frac{4}{4}=1 \in A\\f(1)=2\cdot1^2-4\cdot1+3=2-4+3=1\\f(\frac{1}{2})=2\cdot(\frac{1}{2})^2-4\cdot\frac{1}{2}+3=\frac{1}{2}-2+3=\frac{3}{2}\\f(2)=2\cdot2^2-4\cdot2+3=8-8+3=3\)
W tym przedziale najmniejsza wartość funkcji jest równa 1, a największa 3.
b)
\(f(x)=-x^2+3x-1\\A=<-1;\ 1>\\x_w=\frac{-3}{-2}=\frac{3}{2} \notin A\\f(-1)=-(-1)^2+3\cdot(-1)-1=-1-1-1=-5\\f(1)=-1^2+3\cdot1-1=-1+3-1=1\)
W tym przedziale najmniejsza wartość funkcji jest równa -5, a największa wynosi 1.
c)
\(f(x)=x^2+2\\A=<-2;\ 3>\\x_w=\frac{0}{2}=0 \in A\\f(0)=0^2+2=2\\f(-2)=(-2)^2+2=4+2=6\\f(3)=3^2+2=9+2=11\)
W tym przedziale najmniejsza wartość funkcji jest równa 2, a największa jest równa 11.
2.
\(f(x)=2x^2-7x+m\)
a)
\(2 \neq 0\)
Dwa miejsca zerowe będzie miała ta funkcja, jeśli \(\Delta>0\)
\(\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot\ m=-8m+49\\\Delta>0 \Leftrightarrow -8m>-49 \Leftrightarrow m<\frac{49}{8}\\m \in (- \infty ;\ \frac{49}{8})\)
b)
\(f(1)=0\\2\cdot1^2-7\cdot1+m=0\\-5+m=0\\m=5\\f(x)=2x^2-7x+5\\\Delta=49-8\cdot5=9\\\sqrt{\Delta}=3\\x_1=\frac{7-3}{4}=1\ \vee \ x_2=\frac{7+3}{4}=\frac{5}{2}\)
Drugim miejscem zerowym jest \(x=\frac{5}{2}\).
\(f(x)=2x^2-7x+m\)
a)
\(2 \neq 0\)
Dwa miejsca zerowe będzie miała ta funkcja, jeśli \(\Delta>0\)
\(\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot\ m=-8m+49\\\Delta>0 \Leftrightarrow -8m>-49 \Leftrightarrow m<\frac{49}{8}\\m \in (- \infty ;\ \frac{49}{8})\)
b)
\(f(1)=0\\2\cdot1^2-7\cdot1+m=0\\-5+m=0\\m=5\\f(x)=2x^2-7x+5\\\Delta=49-8\cdot5=9\\\sqrt{\Delta}=3\\x_1=\frac{7-3}{4}=1\ \vee \ x_2=\frac{7+3}{4}=\frac{5}{2}\)
Drugim miejscem zerowym jest \(x=\frac{5}{2}\).
4.
\(f(x)=\frac{3}{x^2-2x+5}\\x^2-2x+5 \neq 0\\\Delta=4-20<0\\x \in r \Rightarrow x^2-2x+5>0\\D_f=\ R\)
Funkcja f(x) będzie miała wartość największą, jeśli funkcja w mianowniku \(g(x)=x^2-2x+5\) przyjmie wartość najmniejszą. Funkcja g(x) ma wartość najmniejszą dla \(x_w=\frac{2}{2}=1\)
\(f(1)=\frac{3}{1^2-2\cdot1+5}=\frac{3}{4}\)
\(f(x)=\frac{3}{x^2-2x+5}\\x^2-2x+5 \neq 0\\\Delta=4-20<0\\x \in r \Rightarrow x^2-2x+5>0\\D_f=\ R\)
Funkcja f(x) będzie miała wartość największą, jeśli funkcja w mianowniku \(g(x)=x^2-2x+5\) przyjmie wartość najmniejszą. Funkcja g(x) ma wartość najmniejszą dla \(x_w=\frac{2}{2}=1\)
\(f(1)=\frac{3}{1^2-2\cdot1+5}=\frac{3}{4}\)
9.
\(f(n)=n^2-n=41\\D= \left\{1,2,3,...,40 \right\} \\n_w=\frac{1}{2} \notin D\\f(1)=1^2-1+41=41\\f(40)=40^2-40+41=1601\)
Najmniejszą liczbą pierwszą, którą można wyznaczyć z tego zbioru jest 41, największą 1601.
\(n^2-n+41=547\\n^2-n-506=0\\\Delta=1+2024=2025\\\sqrt{\Delta}=45\\n_1=\frac{1-45}{2}=-22 \notin D\ \vee \ n_2=\frac{1+45}{2}=23 \in D\)
Liczba 547 jest wartością tej funkcji.
\(f(n)=n^2-n=41\\D= \left\{1,2,3,...,40 \right\} \\n_w=\frac{1}{2} \notin D\\f(1)=1^2-1+41=41\\f(40)=40^2-40+41=1601\)
Najmniejszą liczbą pierwszą, którą można wyznaczyć z tego zbioru jest 41, największą 1601.
\(n^2-n+41=547\\n^2-n-506=0\\\Delta=1+2024=2025\\\sqrt{\Delta}=45\\n_1=\frac{1-45}{2}=-22 \notin D\ \vee \ n_2=\frac{1+45}{2}=23 \in D\)
Liczba 547 jest wartością tej funkcji.
11.
\(P(t)=\frac{400}{t+1}-8\\t \in N^+\)
a) Według mnie, trzeba obliczyć P(0), ale w treści jest, że t to tylko liczby dodatnie.
\(P(0)=\frac{400}{0+1}-8=400-8=392\)
b)
\(P(t)=0 \Leftrightarrow \frac{400}{t+1}-8=0 \Leftrightarrow \frac{400}{t+1}=8 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow t+1=50 \Leftrightarrow t=49\)
Po 49 dniach.
\(P(t)=\frac{400}{t+1}-8\\t \in N^+\)
a) Według mnie, trzeba obliczyć P(0), ale w treści jest, że t to tylko liczby dodatnie.
\(P(0)=\frac{400}{0+1}-8=400-8=392\)
b)
\(P(t)=0 \Leftrightarrow \frac{400}{t+1}-8=0 \Leftrightarrow \frac{400}{t+1}=8 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow t+1=50 \Leftrightarrow t=49\)
Po 49 dniach.