Oblicz \(\sum_{k=1}^{n} { n\choose k }* 3^{k}\)
Co mam tu zrobić ? Jak mam to rozpisać, policzyć ? Tylko takie dane mam w zadaniu.
Rozwinięcie dwumianowe
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
radagast
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Chyba, że tak:
\(\displaystyle 4^n= \left(3+1 \right) ^n= \sum_{k=0}^{n} { n\choose k } \cdot 3^{k} \cdot 1^{n-k}= { n\choose 0 } \cdot 3^{0} \cdot 1^{n-0}+ \sum_{k=1}^{n} { n\choose k } \cdot 3^{k} \cdot 1^{n-k}=1+\sum_{k=1}^{n} { n\choose k } \cdot 3^{k} \cdot 1^{n-k}\)
No to
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} { n\choose k } \cdot 3^{k}=4^n-1\)
\(\displaystyle 4^n= \left(3+1 \right) ^n= \sum_{k=0}^{n} { n\choose k } \cdot 3^{k} \cdot 1^{n-k}= { n\choose 0 } \cdot 3^{0} \cdot 1^{n-0}+ \sum_{k=1}^{n} { n\choose k } \cdot 3^{k} \cdot 1^{n-k}=1+\sum_{k=1}^{n} { n\choose k } \cdot 3^{k} \cdot 1^{n-k}\)
No to
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} { n\choose k } \cdot 3^{k}=4^n-1\)