forum.zadania.info

W czworokącie ABCD, który można wpisać w okrąg, poprowadzono okrąg przez punkty A, B i punkt przecięcia przekątnych czworokąta. Okrąg ten przecina bok BC w punkcie E. Udowodnij, że jeśli |AB| = |AD|, to |CE| = |CD|.

Narysuj sobie ten rysunek.
Punkt przecięcia przekątnych nazwij P.

Jeśli |AB|=|AD|, to trójkąt ABD jest równoramienny, więc
\(|\angle ABD|=|\angle ADB|=\alpha\)

Kąt ACD jest kątem wpisanym w duży okrąg i jest oparty na tym samym łuku, co kąt wpisany ABD.
Kąt wpisany ACB jest kątem opartym na tym samym łuku, co wpisany kąt ADB, stąd:
\(|\angle ACD|=|\angle ACB|=\alpha\)

Kąty BAC i BDC to kąty wpisane oparte na tym samym łuku, więc
\(|\angle BAC|=|\angle BDC|=\beta\)

Czworokąt ABEP jest wpisany w mniejszy okrąg, więc
\(|\angle BEP|=180^0-|\angle PAB|=180^0-\beta\)

Kąt PEC jest kątem przyległym do kąta BEP, czyli
\(|\angle PEC|=\beta\)

W trójkątach CDP i CEP mamy więc:
\(|\angle PCD|=|\angle PCE|=\alpha\ \ i\ \ |\angle PDC|=|\angle PEC|=\beta\ \ oraz\ \ |\angle DPC|=|\angle EPC|=\gamma\)

W tych trójkątach wspólny bok PC leży przy kątach przystających \(\alpha\ \ i\ \ \gamma\), a stąd- na mocy cechy (kbk) trójkąty te są przystające.

Stąd:
\(|CE|=|CD|\)

I to trzeba było wykazać