forum.zadania.info

Hej, mam problem z takim zadaniem:
policz granice:
\(lim \frac{log _{4} (n+2)}{log _{5} (n-1)}\)


\(lim log _{n} (n+1)\)

zabardzo nie wiem jak sie nawet za to zabrac i nie moge nigdzie znalzc podobnego przykladu. Bardzo prosze o jakas pomoc:) najlepiej wytlumaczenia tak zebym byla w stanie zrozumiec;

Wzór na zmianę podstawy logarytmu się przyda.
Ten drugi przykład można tak chyba:
\(\lim_{n\to\infty} \log_n(n+1)=\lim_{n\to\infty} \log_n n\frac{(n+1)}{n}=\lim_{n\to\infty} \log_n n + \log_n\frac{n+1}{n}= 1+\lim_{n\to\infty} \frac{\log_2\frac{n+1}{n} }{\log_2{n} }=1+0=1\)
Zamiast \(\log_2\) mozna oczywiście użyć dowolnego innego.

Z pierwszym teraz już łatwo bo np.:
\(\lim_{n\to\infty} \frac{\log_4(n+2)}{\log_5(n-1)} = \lim_{n\to\infty} \frac{\ln(n+2) \ln 5}{\ln 4\ln(n-1)} = \frac{\ln 5}{\ln 4}\lim_{n\to\infty} \frac{\ln(n+2)}{\ln(n-1)}=\log_4 5\lim_{n\to\infty} \log_{n-1}(n+2)=\log_4 5\)
Z granicą \(\lim_{n\to\infty} \log_{n-1}(n+2)\) postępujemy jak wyżej z\(\lim_{n\to\infty} \log_n(n+1)\).