W trójkącie\(ABC\) mamy dane \(|AC|= \sqrt{3}\) i \(|\angle ACB|=90^\circ\). Przez wierzchołek \(C\) poprowadzono prostą, która utworzyła z bokiem \(AC\) kąt \(60^\circ\) i przecięła bok \(AB\) w punkcie \(D\) tak, że \(|AD|:|DB|=1:3\).
a) Wykonaj rysunek
b) Oblicz długość boków AB i BC oraz długość odcinka CD
proszę o pomoc
trójkąt
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Oznaczyłam: |BC|=y, |AD|=x, |DB|=3x, |CD|=a, \(\angle CAB=\alpha,\ \angle ABC=90^o-\alpha\)
\(sin\alpha=\frac{y}{4x}\\sin(90^o-\alpha)=cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{4x}\)
Korzystam z twierdzenia sinusów.
W trójkącie BCD:
\(\frac{3x}{sin30^o}=\frac{a}{sin(90^o-\alpha)}\\\frac{3x}{\frac{1}{2}}=\frac{a}{cos\alpha}\\6x=\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{4x}}\\6x=\frac{4ax}{\sqrt{3}}\\4a=6\sqrt{3}\\a=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
W trójkącie ADC:
\(\frac{x}{sin60^o}=\frac{a}{sin\alpha}\\\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{a}{\frac{y}{4x}}\\\frac{2x}{\sqrt{3}}=\frac{4ax}{y}\\\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{4a}{y}\\y=2\sqrt{3}a\\y=2\sqrt{3}\cdot\frac{3\sqrt{3}}{2}\\y=9\)
Z twierdzenia Pitagorasa:
\((\sqrt{3})^2+9^2=|AB|^2\\|AB|^2=84\\|AB|=2\sqrt{21}\)
\(|AB|=2\sqrt{21}\\|BC|=9\\|CD|=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
\(sin\alpha=\frac{y}{4x}\\sin(90^o-\alpha)=cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{4x}\)
Korzystam z twierdzenia sinusów.
W trójkącie BCD:
\(\frac{3x}{sin30^o}=\frac{a}{sin(90^o-\alpha)}\\\frac{3x}{\frac{1}{2}}=\frac{a}{cos\alpha}\\6x=\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{4x}}\\6x=\frac{4ax}{\sqrt{3}}\\4a=6\sqrt{3}\\a=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
W trójkącie ADC:
\(\frac{x}{sin60^o}=\frac{a}{sin\alpha}\\\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{a}{\frac{y}{4x}}\\\frac{2x}{\sqrt{3}}=\frac{4ax}{y}\\\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{4a}{y}\\y=2\sqrt{3}a\\y=2\sqrt{3}\cdot\frac{3\sqrt{3}}{2}\\y=9\)
Z twierdzenia Pitagorasa:
\((\sqrt{3})^2+9^2=|AB|^2\\|AB|^2=84\\|AB|=2\sqrt{21}\)
\(|AB|=2\sqrt{21}\\|BC|=9\\|CD|=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)