Liczba wyrazów w ciągu arytmetycznym jest nieparzysta, natomiast suma wyrazów znajdujących się na nieparzystych miejscach jest równa 44, pozostałych zaś 33. Wyznacz środkowy wyraz i liczbę wszystkich wyrazów ciągu arytmetycznego.
proszę o pomoc
ciąg arytmetyczny
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
n- ilość wyrazów tego ciągu, n=2k+1, gdzie \(k \in N\)
Ponieważ ilość wyrazów ciągu jest nieparzysta, to wyrazów o numerach parzystych jest k, a o numerach nieparzystych jest k+1.
wyraz pierwszy: \(a_1=a\), wyraz środkowy to wyraz \(a_{k+1}\).
r- różnica tego ciągu.
wyraz środkowy
\(a_{k+1}=s=a_1+kr\\a=s-kr\)
\(a_{2k+1}=a_1+2kr=s+kr\)
Suma wyrazów o nieparzystych numerach:
\(S_{k+1}=\frac{a_1+a_{2k+1}}{2}\cdot(k+1)=44\\\frac{s-kr+s+kr}{2}\cdot(k+1)=44\\s(k+1)=44\)
Suma wszystkich wyrazów:
\(S_{2k+1}=\frac{a_1+a_{2k+1}}{2}\cdot(2k+1)=77\\\frac{s-kr+s+kr}{2}\cdot(2k+1)=77\)
\(\begin{cases}s(k+1)=44\\s(2k+1)=77 \end{cases} \\\frac{k+1}{2k+1}=\frac{4}{7}\\7k+7=8k+4\\k=3\\s=11\\n=7\)
Środkowy wyraz jest równy 11, a wyrazów w tym ciągu jest 7.
Ponieważ ilość wyrazów ciągu jest nieparzysta, to wyrazów o numerach parzystych jest k, a o numerach nieparzystych jest k+1.
wyraz pierwszy: \(a_1=a\), wyraz środkowy to wyraz \(a_{k+1}\).
r- różnica tego ciągu.
wyraz środkowy
\(a_{k+1}=s=a_1+kr\\a=s-kr\)
\(a_{2k+1}=a_1+2kr=s+kr\)
Suma wyrazów o nieparzystych numerach:
\(S_{k+1}=\frac{a_1+a_{2k+1}}{2}\cdot(k+1)=44\\\frac{s-kr+s+kr}{2}\cdot(k+1)=44\\s(k+1)=44\)
Suma wszystkich wyrazów:
\(S_{2k+1}=\frac{a_1+a_{2k+1}}{2}\cdot(2k+1)=77\\\frac{s-kr+s+kr}{2}\cdot(2k+1)=77\)
\(\begin{cases}s(k+1)=44\\s(2k+1)=77 \end{cases} \\\frac{k+1}{2k+1}=\frac{4}{7}\\7k+7=8k+4\\k=3\\s=11\\n=7\)
Środkowy wyraz jest równy 11, a wyrazów w tym ciągu jest 7.