Wykaż-ułamek nieskracalny

[gucio102]

Wykaż ,że dla dowolnej liczby całkowitej x ułamek \(\frac{7x+4}{2x+1}\) jest nieskracalny.

[Galen]

\(\frac{3,5x+2}{x+ 0,5}= \frac{3,5(x+0,5)+0,25}{x+0,5}=3,5+ \frac{0,25}{x+0,5}= \frac{7}{2}+ \frac{1}{4x+2}\)
Ten ułamek \(\frac{1}{4x+2}\) jest nieskracalny.
To i suma dwóch nieskracalnych jest nieskracalna.

[gucio102]

czy to wystarczy ? w zeszycie z lekcji mam zaczęte to zadanie od dowodu "nie wprost " jako stwierdzenie ,że ten ułamek jest skracalny \(\frac{7x+4}{2x+1}\) =\(\frac{k*q}{k*p}\) tylko nie mam niestety dalszego rozwiązania zadania

[Panko]

\(\frac{7x+4}{2x+1} =3+ \frac{x+1}{2x+1}\)
Należy pokazać ,że \(( x+1,2x+1)=1\) są względnie pierwsze czyli \(NWD( x+1,2x+1)=1\)

Załóżmy nie wprost , że \(k| x+1\) i \(k| 2x+1\) i \(|k| \neq 1\)
Wtedy \(k | (2x+1)-(x+1)\) czyli \(k| x\)
Ale wtedy \(k|x+1\) z założenia i \(k| x\) stąd \(k| (x+1)-x\) czyli \(k| 1\) czyli \(|k|=1\) i sprzeczność .
Stąd \(NWD( x+1,2x+1)=1\)