Ciąg arytmetyczny
: 19 lut 2010, 09:14
Suma trzech liczb tworzacych ciag arytmetyczny wynosi 24. Jeli do pierwszej dodamy 1, do drugiej 2, a do trzeciej 25, to otrzymamy ciag geometryczny. Wyznacz te liczby.
(a, b, c)- ciąg arytmetyczny, czyli 2b=a+c
suma jest równa 24, czyli a+b+c=24
\(\begin{cases}2b=a+c\\a+b+c=24 \end{cases} \\2b+b=24\\3b=24\\b=8\\a+c=16\\\)
(a+1, b=2, c+25) - ciąg geometryczny, czyli
\((b+2)^2=(a+1)(c+25)\\10^2=(a+1)(c+25)\)
\(\begin{cases}a+c=16\\(a+1)(c+25)=100 \end{cases} \\c=16-a\\(a+1)(16-a+25)=100\\(a+1)(41-a)=100\\a^2-40a+59=0\\ \Delta=1364\\\sqrt{\Delta}=2\sqrt{341}\\a_1=20-\sqrt{341}\ \vee \ a_2=20+\sqrt{341}\\c_1=\sqrt{341}-4\ \vee \ c_2=-\sqrt{341}-4\)
\(\begin{cases}a=20-\sqrt{341}\\b=8\\c=\sqrt{341}-4 \end{cases} \ \vee \ \begin{cases}a=20+\sqrt{341}\\b=8\\c=-4-\sqrt{341} \end{cases}\)