Trójkąt ABC

[max04]

Witam,
mam zadanie, którego nie mogę zrobić:

Dany jest trójkąt ABC o kątach \(\alpha , \beta , \gamma\).
Udowodnić, że jeżeli cotangensy kątów tworzą ciąg arytmetyczny, to kwadraty boków też tworzą ciąg arytmetyczny.

Dziękuję za wszelką pomoc.

[anka]

Z twierdzenia cosinusów
\(cos\alpha= \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
\(cos\beta= \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\)
\(cos\gamma= \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)

Z twierdzenia sinusów
\(\frac{a}{sin\alpha}= 2R \Rightarrow sin\alpha= \frac{a}{2R}\)
\(\frac{b}{sin\beta} =2R \Rightarrow sin\beta= \frac{b}{2R}\)
\(\frac{c}{sin\gamma} =2R \Rightarrow sin\gamma= \frac{c}{2R}\)

Stąd:
\(ctg\alpha= \frac{2R(b^2+c^2-a^2)}{2abc}\)
\(ctg\beta= \frac{2R(a^2+c^2-b^2)}{2abc}\)
\(ctg\gamma= \frac{2R(a^2+b^2-c^2)}{2abc}\)


z warunków zadania
\(ctg\beta-ctg\alpha=ctg\gamma-ctg\beta\)
\(\frac{2R(a^2+c^2-b^2)}{2abc}- \frac{2R(b^2+c^2-a^2)}{2abc}=\frac{2R(a^2+b^2-c^2)}{2abc}-\frac{2R(a^2+c^2-b^2)}{2abc}\)
\(a^2 - b^2 = b^2 - c^2\)
\(b^2-a^2=c^2-b^2\)
czyli \(a^2, b^2, c^2\) tworzą ciąg arytmetyczny

[max04]

Dzięki wielkie za pomoc.