romb i trójkąt
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
romb i trójkąt
W trójkąt wpisano romb w ten sposób, że wierzchołek trójkąta jest wierzchołkiem rombu i dwa boki rombu zawarte są w bokach trójkąta. Stosunek długości tych boków trójkąta jest równy k. Wykaż, że stosunek pola rombu do pola trójkąta jest równy \(\frac{2k}{(1+k)^2}\).
domyślam się, że czwarty wierzchołek rombu leży na trzecim boku trójkąta.
Oznaczyłam
a,b- boki trójkąta, w których zawarte są boki rombu
\(\alpha\)- kąt między tymi bokami
x- bok rombu.
Trójkąty powstałe po wycięciu rombu są podobne do wyjściowego trójkąta. Pole wyjściowego trójkąta to suma pól rombu i tych dwóch trójkątów
\(\frac{a}{b}=k\\a=bk\)
\(x^2sin\alpha+\frac{1}{2}x(bk-x)sin\alpha+\frac{1}{2}x(b-x)sin\alpha=\frac{1}{2}b^2ksin\alpha\ /:sin\alpha\\x^2+\frac{1}{2}bkx-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}bx-\frac{1}{2}x^2=\frac{1}{2}b^2k\\kx+x=bk\\x=\frac{bk}{k+1}\)
\(\frac{P_r}{P_t}=\frac{x^2sin\alpha}{\frac{1}{2}b^2ksin\alpha}=\frac{(\frac{bk}{k+1})^2}{\frac{1}{2}b^2k}=\frac{2b^2k^2}{(k+1)^2\cdot\ b^2k}=\frac{2k}{(k+1)^2}\)
Oznaczyłam
a,b- boki trójkąta, w których zawarte są boki rombu
\(\alpha\)- kąt między tymi bokami
x- bok rombu.
Trójkąty powstałe po wycięciu rombu są podobne do wyjściowego trójkąta. Pole wyjściowego trójkąta to suma pól rombu i tych dwóch trójkątów
\(\frac{a}{b}=k\\a=bk\)
\(x^2sin\alpha+\frac{1}{2}x(bk-x)sin\alpha+\frac{1}{2}x(b-x)sin\alpha=\frac{1}{2}b^2ksin\alpha\ /:sin\alpha\\x^2+\frac{1}{2}bkx-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}bx-\frac{1}{2}x^2=\frac{1}{2}b^2k\\kx+x=bk\\x=\frac{bk}{k+1}\)
\(\frac{P_r}{P_t}=\frac{x^2sin\alpha}{\frac{1}{2}b^2ksin\alpha}=\frac{(\frac{bk}{k+1})^2}{\frac{1}{2}b^2k}=\frac{2b^2k^2}{(k+1)^2\cdot\ b^2k}=\frac{2k}{(k+1)^2}\)