trójkąt prostokątny
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
trójkąt prostokątny
Kąt przy wierzchołku C trójkąta ABC jest prosty. Na przedłużeniu przeciwprostokątnej odmierzono za punktem B odcinek BD (B leży między A i D) o długości równej długości przyprostokątnej BC. Wyznacz długość odcinka CD, jeśli wiadomo, że |BC| = \(\frac{35}{3}\) , |AC| = 40
Obliczam przeciwprostokątna w tym trójkącie:
\((\frac{35}{3})^2+40^2=|AB|^2\\|AB|^2=\frac{1225}{9}+1600\\|AB|^2=\frac{14400+1225}{9}\\|AB|^2=\frac{15625}{9}\\|AB=\frac{125}{3}\)
\(\alpha= \angle ABC\\cos\alpha=\frac{\frac{35}{3}}{\frac{125}{3}}=\frac{35}{125}=\frac{7}{25}\\ \angle DBC=180^o-\alpha\\cos(180^o-\alpha)=-cos\alpha=-\frac{7}{25}\)
|CD|=x
z twierdzenia cosinusów w trójkącie CBD:
\(x^2=|BD|^2+|BC|^2-2|BD|\cdot|BC|\cdot\ cos(180^o-\alpha)\\x^2=(\frac{35}{3})^2+(\frac{35}{3})^2-2\cdot\frac{35}{3}\cdot\frac{35}{3}\cdot(-\frac{7}{25}\\x^2=2\cdot(\frac{35}{3})^2+2\cdot(\frac{35}{3})^2\cdot\frac{7}{25}\\x^2=(\frac{35}{3})^2(2+\frac{14}{25})\\x^2=(\frac{35}{3})^2\cdot\frac{64}{25}\\x=\frac{35}{3}\cdot\frac{8}{5}\\x=\frac{56}{3}\)
\((\frac{35}{3})^2+40^2=|AB|^2\\|AB|^2=\frac{1225}{9}+1600\\|AB|^2=\frac{14400+1225}{9}\\|AB|^2=\frac{15625}{9}\\|AB=\frac{125}{3}\)
\(\alpha= \angle ABC\\cos\alpha=\frac{\frac{35}{3}}{\frac{125}{3}}=\frac{35}{125}=\frac{7}{25}\\ \angle DBC=180^o-\alpha\\cos(180^o-\alpha)=-cos\alpha=-\frac{7}{25}\)
|CD|=x
z twierdzenia cosinusów w trójkącie CBD:
\(x^2=|BD|^2+|BC|^2-2|BD|\cdot|BC|\cdot\ cos(180^o-\alpha)\\x^2=(\frac{35}{3})^2+(\frac{35}{3})^2-2\cdot\frac{35}{3}\cdot\frac{35}{3}\cdot(-\frac{7}{25}\\x^2=2\cdot(\frac{35}{3})^2+2\cdot(\frac{35}{3})^2\cdot\frac{7}{25}\\x^2=(\frac{35}{3})^2(2+\frac{14}{25})\\x^2=(\frac{35}{3})^2\cdot\frac{64}{25}\\x=\frac{35}{3}\cdot\frac{8}{5}\\x=\frac{56}{3}\)