Dwumian Newtona

[JCown]

Rozważmy rozwinięcie wyrażenia \((a+b+c)^{12}\)
Znajdź
a) największy współczynnik w rozwinięciu
b) sumę wszystkich współczynników w rozwinięciu

[Crazy Driver]

Pytanie b) jest prostsze, więc od niego zacznę. Nietrudno stwierdzić, że tak jak w dobrze znanym przypadku dwumianu Newtona tutaj także każdy składnik sumy po wykonaniu potęgowania będzie postaci \(k\cdot a^xb^yz^t\), gdzie \(x,y,z\) to jakieś tam wykładniki, a \(k\) to jakiś tam współczynnik (na razie nie wnikamy w szczegóły). Zatem aby uzyskać sumę tych współczynników, wystarczy (znów tak jak przy dwóch składnikach) wziąć \(a=b=c=1\).
Ad a). Odpowiedź na to pytanie wymaga już bardziej szczegółowej wiedzy o tym, jak wygląda suma \((x_1+x_2+\cdots+x_k)^n\) po wykonaniu potęgowania. Otóż tak:

\((x_1+x_2+\cdots+x_k)^n=\sum_{m_1+m_2+\cdots+m_k=n}\frac{n!}{m_1!m_2!\ldots m_k!}x_1^{m_1}x_2^{m_2}\ldots x_k^{m_k}\)

Zrozumienie, skąd się wzór bierze, wymaga dobrej orientacji w kombinatoryce i nie będę wchodził w tym miejscu w szczegóły. Jeśli ktoś jest zainteresowany, służę pomocą.

Tak więc pytanie a) sprowadza się do pytania, dla jakiego podziału \(12\) na nieujemne składniki \(m_1,\ m_2,\ m_3\) współczynnik \(\frac{12!}{m_1!m_2!m_3!}\) ma największą wartość.