Czworokąt wpisany w okrąg

[kostka776]

Na okręgu zaznaczono losowo 4 punkty. Łącząc je powstał czworokąt. Przeciwne boki o długości 6 i x przedłużono aż się "spotkały". Długość ich to 6 (odcinek przedłużony z szóstki) i 8 (odc. przedłużony od x). Oblicz długośc x.

[radagast]

\(6 \cdot 6=8x \So x=4,5\)

[kostka776]

dlaczego tak?

[radagast]

popatrz sobie co to jest potęga punktu względem okręgu: http://pl.wikipedia.org/wiki/Pot%C4%99ga_punktu

[kostka776]

popatrz sobie co to jest potęga punktu względem okręgu: http://pl.wikipedia.org/wiki/Pot%C4%99ga_punktu

A prościej się da?

[kacper218]

Potęgi punktu się w szkole nie uczy (nigdy się nie spotkałem, żeby uczono) , ale uczy się twierdzenia o siecznych

[Galen]

Tw.
Jeżeli dwie sieczne poprowadzone z punktu P leżącego poza okręgiem przecinają okrąg w punktach
A i B oraz C i D to \(|PA| \cdot |PB|=|PC| \cdot |PD|\)
\(|PA|=6\\|PB|=6+6=12\\|PC|=8\\|PD|=8+x\)
Masz więc równanie:
\(8(8+x)=6 \cdot 12\;/:8\\8+x=9\\x=1\)

[kostka776]

Tw.
Jeżeli dwie sieczne poprowadzone z punktu P leżącego poza okręgiem przecinają okrąg w punktach
A i B oraz C i D to \(|PA| \cdot |PB|=|PC| \cdot |PD|\)
\(|PA|=6\\|PB|=6+6=12\\|PC|=8\\|PD|=8+x\)
Masz więc równanie:
\(8(8+x)=6 \cdot 12\;/:8\\8+x=9\\x=1\)

Dziękuję. A jeśli można wiedzieć: z czego wynika to twierdzenie?

[kacper218]

Wynika np. z podobieństwa trójkątów \(PAB\) i \(PCD\)