1. Dany jest trapez ABCD o postawach AB, CD (|AB|>|CD|). Przekątna AC dzieli trapez na 2 trójkąty takie, że |AD|=|DC| i |AC|=|BC|. Kąt ADC ma miarę 120 st, wysokość trapezu jest równa 4. Oblicz obwód tego trapezu, jeśli wiadomo, że krótsza podstawa ma długość |DC|=3.
2. Dany jest zcworokąt o bokach |AB|=4, |BC|=5, |CD|=3, |AD|=6. Wiadomo ponadto, że można na nim opisać okrąg. Oblicz odległość wierzchołka D od boku AB.
z gory dzieki za pomoc lub wskazowki do zadan
planimetria operon
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
w pierwszym zadaniu skorzystaj z twierdzenia cosinusów (b^2= a^2 + c^2 - 2ac *cos(120st)) z tego powinna wyjść przekątna |AC|. Pamiętaj, że cos(120)= cos(90st+30st)= -sin(30st)=-1/2 Podstawa mała już jest wynosi |DC|=3. Potem skorzystaj z tw. pitagorasa i wysokości, która jest podana i tak obliczysz dłuższą podstawę. Nad drugim pomyślę powodzenia.
1.
Trójkąt ACD jest równoramienny, |ZD|=|CD|=3.
Trójkąt ABC też jest równoramienny, |BC|=|AC|=8. Wysokość tego trójkąta, CE, poprowadzona z punktu C jest też wysokością trapezu, dzieli podstawę AB na dwie równe części.Ponieważ trójkąt ABC jest równoramienny, to ta wysokość zawiera się w osi symetrii tego trójkąta i \(| \angle ACE|=| \angle ECB|=60^o\). Oznaczyłam |AE|=|EB|=a.
\(\frac{a}{4}=tg60^o\\\frac{a}{4}=\sqrt{3}\\a=4\sqrt{3}\\|AB|=8\sqrt{3}\)
Obwód trapezu:
\(Ob=2\cdot3+8+8\sqrt{3}=14+8\sqrt{3}=2(7+4\sqrt{3})\)
2.
Odległość wierzchołka D od boku AB to wysokość trójkąta ABD. Wysokość tę nazwałam DE.
Ponieważ na czworokącie tym można opisać okrąg, więc:
\(| \angle DAB|+| \angle BCD|=180^o\\| \angle BAD|=\alpha\\| \angle BCD|=180^o-\alpha\)
Z twierdzenia cosinusów w trójkącie ABD:
\(|BD|^2=6^2+4^2-2\cdot6\cdot4\cdot\ cos\alpha\\|BD|^2=52-48cos\alpha\)
Z twierdzenia cosinusów w trójkącie BCD:
\(|BD|^2=3^2+5^2-2\cdot3\cdot5\cdot\ cos(180^o-\alpha)=34-30\cdot(-cos\alpha)=34+30cos\alpha\)
\(52-48cos\alpha=34+30cos\alpha\\78cos\alpha=18\\cos\alpha=\frac{18}{78}=\frac{3}{13}\\sin^2\alpha=1-cos^2\alpha\\sin^2\alpha=1-(\frac{3}{13})^2\\sin^2\alpha=1-\frac{9}{169}\\sin^2\alpha=\frac{160}{169}\\sin\alpha=\frac{4\sqrt{10}}{13}\)
W trójkącie AED:
\(sin\alpha=\frac{|DE|}{6}\\\frac{4\sqrt{10}}{13}=\frac{|DE|}{4}\\|DE|=\frac{16\sqrt{10}}{13}\)
Trójkąt ACD jest równoramienny, |ZD|=|CD|=3.
Trójkąt ABC też jest równoramienny, |BC|=|AC|=8. Wysokość tego trójkąta, CE, poprowadzona z punktu C jest też wysokością trapezu, dzieli podstawę AB na dwie równe części.Ponieważ trójkąt ABC jest równoramienny, to ta wysokość zawiera się w osi symetrii tego trójkąta i \(| \angle ACE|=| \angle ECB|=60^o\). Oznaczyłam |AE|=|EB|=a.
\(\frac{a}{4}=tg60^o\\\frac{a}{4}=\sqrt{3}\\a=4\sqrt{3}\\|AB|=8\sqrt{3}\)
Obwód trapezu:
\(Ob=2\cdot3+8+8\sqrt{3}=14+8\sqrt{3}=2(7+4\sqrt{3})\)
2.
Odległość wierzchołka D od boku AB to wysokość trójkąta ABD. Wysokość tę nazwałam DE.
Ponieważ na czworokącie tym można opisać okrąg, więc:
\(| \angle DAB|+| \angle BCD|=180^o\\| \angle BAD|=\alpha\\| \angle BCD|=180^o-\alpha\)
Z twierdzenia cosinusów w trójkącie ABD:
\(|BD|^2=6^2+4^2-2\cdot6\cdot4\cdot\ cos\alpha\\|BD|^2=52-48cos\alpha\)
Z twierdzenia cosinusów w trójkącie BCD:
\(|BD|^2=3^2+5^2-2\cdot3\cdot5\cdot\ cos(180^o-\alpha)=34-30\cdot(-cos\alpha)=34+30cos\alpha\)
\(52-48cos\alpha=34+30cos\alpha\\78cos\alpha=18\\cos\alpha=\frac{18}{78}=\frac{3}{13}\\sin^2\alpha=1-cos^2\alpha\\sin^2\alpha=1-(\frac{3}{13})^2\\sin^2\alpha=1-\frac{9}{169}\\sin^2\alpha=\frac{160}{169}\\sin\alpha=\frac{4\sqrt{10}}{13}\)
W trójkącie AED:
\(sin\alpha=\frac{|DE|}{6}\\\frac{4\sqrt{10}}{13}=\frac{|DE|}{4}\\|DE|=\frac{16\sqrt{10}}{13}\)
-
ewelina0102
- Witam na forum
- Posty: 4
- Rejestracja: 16 lut 2010, 16:04
No tak, ja skorzystałam z trójkąta ABC. Dopiero teraz sprawdziłam dokładnie treść zadania- tam jest sprzeczność. Wysokość trapezu nie może być dłuższa od jego ramienia.
Zauważ, że jeśli trójkąt ACD jest równoramienny, to kąt ACD ma 30 stopni, tyle samo, co kąt CAD. A ponieważ kąty ADC i BAD w trapezie dają kąt półpełny, więc kąt BAD ma 60 stopni. Kąt CAE ma 30 stopni. W trójkącie prostokątnym ACE |AC|=2|CE|.Stąd to 8.
W zadaniu jest oczywista sprzeczność. Niepotrzebnie podano tę wysokość. Bo prowadzi do bzdury.
Zauważ, że jeśli trójkąt ACD jest równoramienny, to kąt ACD ma 30 stopni, tyle samo, co kąt CAD. A ponieważ kąty ADC i BAD w trapezie dają kąt półpełny, więc kąt BAD ma 60 stopni. Kąt CAE ma 30 stopni. W trójkącie prostokątnym ACE |AC|=2|CE|.Stąd to 8.
W zadaniu jest oczywista sprzeczność. Niepotrzebnie podano tę wysokość. Bo prowadzi do bzdury.
-
ewelina0102
- Witam na forum
- Posty: 4
- Rejestracja: 16 lut 2010, 16:04
:)